Do wyboru były cztery odpowiedzi: a)  b)  c)  d)   Wielu czytelników uważało jednak, że żadna z podanych odpowiedzi nie jest prawdziwa, na ogół z powodu skojarzenia z dobrze znanym zadaniem o kapeluszach: jeśli  osób włoży losowo  kapeluszy, to z prawdopodobieństwem równym

żadna z nich nie będzie miała swojego kapelusza na głowie.

Co gorsza, piszący te słowa obserwowali to zjawisko na sobie i swoich studentach. Pierwszym odruchem była uwaga:
aha, jeśli żaden kluczyk nie znajdzie się w skarbonce, którą otwiera, to otworzymy po kolei wszystkie.
Owszem, jest to warunek konieczny, ale nie dostateczny. Otóż operacja uda się wtedy i tylko wtedy, gdy kluczyk od rozbitej skarbonki pojawi się na końcu. A szansa na to – ze względu na symetrię – jest równa  Gdyby ktoś nie wierzył, może rozwiązać zadanie formalnie. Rozważmy  skarbonek. Zdarzeniami elementarnymi, które uznajemy za jednakowo prawdopodobne, są -elementowe ciągi kluczyków. Takich ciągów jest  zdarzeniami sprzyjającymi są zaś te, w których kluczyk od rozbitej skarbonki pojawia się na końcu. Jest ich  stąd szukane prawdopodobieństwo wynosi

Niestety, właściwe rozwiązanie przychodzi zwykle do głowy poniewczasie. Świnki są naprawdę złośliwe. Dlatego będziemy je tłuc bardziej intensywnie.

Załóżmy, że w chwili pojawienia się kluczyka niepasującego do żadnej skarbonki tłuczemy kolejną. Ile  średnio trzeba stłuc skarbonek, by otworzyć wszystkie?

Czytelnik może spróbować odgadnąć rząd wielkości. Średnia jest zaskakująco nieduża i wynosi

Dla  skarbonek średnia, którą oznaczymy przez  jest równa -tej sumie częściowej szeregu harmonicznego:

gdzie  jest stałą Eulera. Jak widać,  rośnie wraz z  dość powoli.

Jak uzyskać ten wynik?

Sposób 1. Jeśli stłuczemy pierwszą świnkę, to pasujący do niej kluczyk ma równe szanse pojawienia się jako pierwszy, drugi, itd. Wtedy zadanie sprowadza się do otwarcia pozostałych    itd. skarbonek w ten sam sposób. Dlatego

Mamy zatem dla :

Z równania (2) wynika, że

(3)

i odjęcie stronami (3) od (1) daje  czyli  dla  Ostatecznie

Jak zwykle, poniewczasie wpadamy na inny pomysł, prowadzący do prostszych rachunków.

---

Sposób 2. Po stłuczeniu pierwszej świnki mamy szansę  znalezienia tam pasującego do niej kluczyka; wtedy pozostaje do otwarcia średnio  skarbonek. W przeciwnym razie jesteśmy w stanie otworzyć kolejną skarbonkę (nie musimy jej tłuc), zatem pozostaje średnio  skarbonek do otwarcia. Stąd równanie:

Rozwiązując zadanie, korzystaliśmy tak naprawdę z pojęcia warunkowej wartości oczekiwanej. Przypomnijmy, że zwykła wartość oczekiwana dla zmiennej losowej przyjmującej skończenie wiele wartości  jest dana wzorem

(4)

Jeśli teraz wprowadzimy zdarzenie  (takie, że ) i zastąpimy we wzorze (4) zwykłe prawdopodobieństwo przez warunkowe, otrzymamy średnią wartość  na :

(5)

Jeżeli dane jest rozbicie  przestrzeni zdarzeń elementarnych  na zdarzenia  to definiujemy warunkową wartość oczekiwaną  pod warunkiem  jako zmienną losową, która przyjmuje wartości  na :

(6)

---

Wtedy można łatwo udowodnić odpowiednik wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:

(7)

Oto dowód:

Wyrażenie (9) otrzymaliśmy, korzystając z (5). Po zamianie kolejności sumowania równość wyrażeń (10) i (11) wynika oczywiście ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

Dwa rozwiązania zadania o średniej liczbie stłuczonych świnek ilustrują typowe zastosowania wzoru (7), który umożliwia układanie równań. Mieliśmy do czynienia z dwoma rozbiciami przestrzeni  na (wykluczające się!) zdarzenia: w sposobie 1 ze względu na chwilę pojawienia się kluczyka od pierwszej stłuczonej świnki, w sposobie 2 – ze względu na to, czy miała w środku swój kluczyk, czy też nie. Można było łatwo odgadnąć, bez zbędnych formalizmów, czemu są równe średnie