Polega ona na tym, że w celu wykazania, iż zbiór poszukiwanych obiektów jest niepusty, dowodzimy, że ma dodatnie prawdopodobieństwo. W praktyce często się wykazuje, że to prawdopodobieństwo jest bliskie 1, czyli „typowy” obiekt ma poszukiwaną własność.

Spróbujmy na początek dowieść istnienia funkcji ciągłej na pewnym przedziale i nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny. W tym przypadku można podać wzór, jednak nie będzie on ani łatwy do zweryfikowania, ani specjalnie przyjemny. Prościej jest zauważyć, że takie funkcje są znane każdemu probabiliście – to trajektorie procesu Wienera. Okazuje się, że wszystkie są ciągłe, a z prawdopodobieństwem 1 nigdzie nieróżniczkowalne.

Rozważmy następujący

Dokładna odpowiedź na to pytanie nie jest znana, wykażemy tutaj, że dla  taki podział istnieje. Rozważmy losowy podział – wyobraźmy sobie, że rzucamy  symetrycznymi monetami i jeśli na -tej monecie wypadł orzeł, to liczbę  przydzielamy do zbioru  a jeśli reszka, to do zbioru  Prawdopodobieństwo tego, że ustalony ciąg arytmetyczny  jest zawarty w zbiorze  wynosi  Wszystkich  elementowych ciągów arytmetycznych o wartościach w  jest mniej niż  stąd prawdopodobieństwo tego, że  zawiera pewien ciąg arytmetyczny długości  jest mniejsze niż  Podobnie możemy rozumować dla zbioru  Czyli z dodatnim prawdopodobieństwem oba zbiory  i  nie zawierają ciągu arytmetycznego! Ambitny Czytelnik może spróbować skonstruować deterministyczny podział, np. dla

W podanym wyżej przykładzie moglibyśmy jeszcze obejść się bez rachunku prawdopodobieństwa, wykorzystując tylko zliczanie elementów. Jednak w bardziej zaawansowanych problemach jest to niemożliwe. Obszerny i burzliwie rozwijający się dział kombinatoryki poświęcony jest badaniu grafów losowych. Tutaj konstrukcje probabilistyczne prowadzą do budowania grafów o rozmaitych ciekawych własnościach. Grafów o podobnych własnościach w wielu przypadkach nie można opisać w bezpośredni sposób. Najciekawsze konstrukcje bazują na podejściu łączącym elementy losowe i deterministyczne.

Metoda losowa znajduje zastosowanie nie tylko w kombinatoryce. Za jej pomocą Dvoretzky wykazał zaskakujące twierdzenie dotyczące wysokowymiarowych ciał wypukłych. Mianowicie, każdy -wymiarowy, środkowosymetryczny wielościan ma co najmniej -wymiarowy centralny przekrój bliski kuli (tzn. stosunek promieni kuli wpisanej i opisanej na tym przekroju jest nieduży). Podobnie każdy -wymiarowy wielościan ma prawie kulisty -wymiarowy rzut. Co więcej, dla wielu brył można znacząco zwiększyć wymiar takiego przekroju czy rzutu. Kashin wykazał, że losowy -wymiarowy rzut -wymiarowej kostki jest z ogromnym prawdopodobieństwem bliski kuli. Jednak, mimo że wiadomo, iż rzuty kostki na „typową”  wymiarową przestrzeń są kuliste, nie jest do dzisiejszego dnia znana żadna deterministyczna konstrukcja takich rzutów.

Argumenty losowe są obecne również w dowodzie niedawno wykazanego przez Greena i Tao twierdzenia, mówiącego, że istnieją dowolnie długie ciągi arytmetyczne złożone z liczb pierwszych.

Powyższa lista, mimo iż bardzo wybiórcza, powinna zasygnalizować Czytelnikowi, że losowe konstrukcje coraz częściej występują w dowodach rezultatów z kombinatoryki, analizy, geometrii czy teorii liczb. Są także inne ważne, niekonstruktywne sposoby dowodzenia, że zbiory są duże, np. z użyciem aparatu topologicznego zamiast probabilistycznego. Ale to temat na inną opowieść.