Istotnie, pozwala to (w odpowiednim modelu matematycznym) wyznaczyć przez wykonanie serii doświadczeń wartość liczby z dokładnością zależną od liczby doświadczeń.

Rys. 1 Igła rzucona na podłogę z desek.

Nie napiszę kolejny raz standardowego rozwiązania – jest ono wystarczająco rozpowszechnione. Zastanówmy się nad innym podejściem do tego problemu.

Niech oznacza średnią liczbę przecięć odcinka o długości  z prostymi rodziny  przy jednym rzucie. Zauważmy, że jeśli nasz odcinek dowolnie podzielimy na dwie części o długości  i  (oczywiście oraz ), to wartość oczekiwana liczby przecięć, liczona dla mniejszych fragmentów, po zsumowaniu da wartość oczekiwaną liczby przecięć dla odcinka wyjściowego:

(1)

Dodajmy jeszcze jedno proste spostrzeżenie:

Podłogę możemy zastąpić płaszczyzną podzieloną rodziną prostych równoległych  reprezentujących miejsca styku dwóch desek. Odległość między dwiema kolejnymi prostymi jest równa  – szerokości deski. Jeżeli przyjmiemy realistyczne założenia, że grubość igły jest dużo mniejsza od szerokości deski oraz że igła nigdy nie upadnie na sztorc, to możemy traktować ją jak odcinek o długości 

Z powyższej równości wynika bardzo ważny wniosek: wartość  będzie taka sama, gdy zamiast odcinkiem będziemy „rzucać” dowolną łamaną o długości  – wystarczy podzielić ją na kawałki prostoliniowe i użyć równości (1) tyle razy, ile tych kawałków będzie. Stąd dla dowolnego wielokąta o obwodzie równym  w naszym doświadczeniu otrzymamy taką samą wartość oczekiwaną liczby przecięć z prostymi z rodziny  jak dla igły o długości  . Tę własność mają również krzywe o długości  , które możemy podzielić na małe fragmenty wyglądające prawie jak odcinki. Takie krzywe mogą być zamknięte (na przykład okrąg spełnia powyższy warunek). Dla uproszczenia zakładamy, że nie mają samoprzecięć (czyli ósemki nie uwzględniamy).

Zależność (1) jest równaniem funkcyjnym, zwanym równaniem Cauchy’ego, które przy założeniu ciągłości szukanej funkcji  spełniają tylko funkcje liniowe:

(2)

gdzie jest stałą. Stałą  można wyznaczyć, zauważając, że okrąg o promieniu , przy dowolnym ułożeniu na rozważanym podłożu, zawsze będzie miał dokładnie dwa punkty wspólne z narysowanymi prostymi. Obwód tego okręgu wynosi , stąd

a więc

Zauważmy, że odcinek o długości może przeciąć co najwyżej jedną prostą z rodziny  . Zatem w tym przypadku

gdzie jest szukanym prawdopodobieństwem przecięcia odcinka i prostej z  . To daje nam oczekiwany wynik:

Stąd właściwie „za darmo” otrzymujemy dowód twierdzenia Barbiera. Zanim przejdziemy do szczegółów, zwróćmy uwagę, że do wyznaczenia stałej  z równości (2) może posłużyć dowolna krzywa o następującej własności:

Niech punkty będą wierzchołkami trójkąta równobocznego. Zakreślmy łuk łączący punkty  i  i mający środek w punkcie  . Analogicznie zakreślamy łuki od punktu do  i środku w  oraz od do  o środku w  . Łuki te tworzą trójkąt Reuleaux.

Takie krzywe nazywają się krzywymi o stałej szerokości, a najpopularniejszym przykładem takiej krzywej, różnym od okręgu, jest trójkąt Reuleaux. Dodajmy jeszcze, że różnych, parami niepodobnych krzywych, o stałej (i ustalonej) szerokości jest nieskończenie wiele.

Rys. 3 Igła rzucona na płaszczyznę podzieloną rodzinami prostych i 

Zajmijmy się teraz nieco innym zadaniem. Dorysujmy na płaszczyźnie rodzinę prostych równoległych  , takich że odległość między dwiema kolejnymi prostymi z tej rodziny jest równa  , a rodzina prostych  przecina proste  pod danym kątem . W ten sposób otrzymujemy płaszczyznę podzieloną prostymi na przystające równoległoboki. Obliczmy prawdopodobieństwo tego, że igła przetnie równocześnie którąkolwiek z prostych rodziny  i prostych rodziny  w tej, nieco ogólniejszej, sytuacji. Poniżej przedstawię rozwiązanie metodą „standardową”, jednak zachęcam do poszukiwania metody podobnej do powyższej, za pomocą równania funkcyjnego.

Położenie igły w tym przypadku najlepiej określić, znając kąt między igłą a prostą rodziny  , odległość środka igły od najbliższej prostej z rodziny  oraz odległość środka igły od najbliższej prostej rodziny  .

Rys. 4 Zbiór zdarzeń, w których igła przecina prostą z i prostą z 

Przestrzenią zdarzeń elementarnych  jest zbiór

Igła przetnie proste, gdy parametry spełniają warunki

(3)

---

Do obliczenia miary (objętości) powyższego podzbioru  przestrzeni  możemy wykorzystać regułę Cavalieriego: żeby otrzymać objętość  , całkujemy względem pola przekrojów  płaszczyznami . Łatwo sprawdzić, że każdy przekrój figury  płaszczyzną dla jest prostokątem o wymiarach na . Otrzymujemy więc

Gdy , szukane prawdopodobieństwo wyraża się przez stosunek objętości obszaru  do objętości prostopadłościanu  :

Można zastanawiać się nad podobnymi zagadnieniami: na przykład, ciekawy wydaje się rzut igłą na płaszczyznę z narysowaną mozaiką złożoną z przystających prostokątów, tworzących „mur z cegieł”. Rozwiązanie tego problemu pozostawiam Czytelnikom.