Delta mi!

Niech  oznaczają odpowiednio rzuty punktów  na płaszczyznę  Dla punktu  różnego od  i  równość  zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąty prostokątne  i  są podobne. Równoważnie,  Jeśli  to punkty  o żądanej własności tworzą okrąg Apoloniusza dla punktów  i stałej  Jakie jest rozwiązanie, gdy  Czy możliwe, by

Rys. 1

Punkty  i  leżą na okręgu Apoloniusza dla punktów  i stałej  Z symetrii względem prostej  punkt  też na nim leży (Rys. 1).

Rys. 2

Łuki  i   są równe, więc  jest dwusieczną kąta  Jednocześnie  jest też dwusieczną kąta (własność z początku artykułu, Rys. 2, stąd

Wystarczy wykazać, że  Z faktu wnioskujemy, że  jest równy różnicy kątów wpisanych w okrąg  i opartych na łukach  oraz  Podobnie  jest równy różnicy kątów wpisanych opartych na łukach  oraz  jest równy różnicy kątów wpisanych opartych na łukach  i   i   jest równy różnicy kątów wpisanych opartych na łukach  i   Oznaczmy przez  długość łuku  Zatem teza zadania zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

Nietrudno zauważyć, że powyższa równość jest równoważna równości

co należało wykazać.

Oznaczmy środki okręgów wyznaczonych przez trójki punktów ; ;  odpowiednio przez  Niech  będzie takim punktem, że  jest rombem. Zauważmy, że czworokąty      są rombami o boku długości  Wobec tego  a z definicji punktu  zachodzi  więc  Ponieważ są to odcinki długości  to także  jest rombem o boku długości  Zatem  czyli punkty  leżą na okręgu o środku w punkcie  i promieniu

Środek  odcinka pomiędzy punktami styczności  i  ma jednakową potęgę  względem każdego z okręgów, więc leży na ich osi potęgowej.

Niech  oraz Prosta  jest styczna do  bo Stąd

więc  leży na osi potęgowej  i  Ponadto

więc  także leży na osi potęgowej  i  Oś potęgowa  okręgów  i  jest prostopadła do prostej  łączącej ich środki.

Proste te są osiami potęgowymi, więc teza wynika z twierdzenia 2.

Okrąg  opisany na trójkącie  nie jest styczny do żadnego z dwóch danych okręgów (bo je przecina w punktach różnych od ). Zatem żaden z odcinków    nie jest jego średnicą; w takim razie żaden z kątów    nie jest prosty. Stąd wniosek, że żaden z punktów    nie leży na prostej  wobec czego prosta  nie przechodzi przez punkt

Mamy więc niezdegenerowany trójkąt  wpisany w okrąg  Wysokość poprowadzona z wierzchołka  lub jej przedłużenie, przecina okrąg  ponownie w punkcie  Ortocentrum trójkąta  leży w punkcie symetrycznym do  względem prostej  – czyli w punkcie

Punkty symetryczne do ortocentrum  względem boków  i  także leżą na okręgu ; oznaczmy je odpowiednio przez  i  (żaden z nich nie pokrywa się z  bo punkt  nie leży na prostej ).

Trójkąt  jest symetryczny do  więc    Ostatnia równość mówi, że  jest punktem okręgu o środku  przechodzącego przez  i  Skoro zaś leży na okręgu  i nie pokrywa się z  musi się pokrywać z  lub ; ustalmy oznaczenia (   ) tak, że  Analogicznie stwierdzamy, że      Tak więc  To znaczy, że punkty      leżą na okręgu o środku

Rozważmy wspólną styczną  okręgów  i  przechodzącą przez punkt  . Przecina ona prostą  w punkcie  Ponieważ  więc trójkąt  jest prostokątny. Wobec tego  jest średnicą okręgu  jako cięciwa, na której oparty jest kąt prosty  a średnica okręgu jest prostopadła do stycznej w swoim końcu.

 – środek okręgu – promień okręgu

Jeśli są na jednej prostej, to też na niej są. Załóżmy więc, że środki okręgów nie są współliniowe. Płaszczyznę zawierającą dane okręgi oznaczmy przez Niech punkty wszystkie leżą po jednej stronie płaszczyzny tak, że dla każdego i rzutem punktu na jest oraz . Punkty nie są współliniowe, bo nie są. Niech będzie płaszczyzną wyznaczoną przez Nie jest ona równoległa do , bo ri są różne. Zatem i przecinają się wzdłuż pewnej prostej.

Okręgi i są jednokładne względem , więc Stąd punkty są współliniowe, czyli punkt leży na płaszczyźnie Leży też na , więc należy do ich wspólnej prostej. Analogicznie należą do niej punkty i   co kończy dowód.

Rozważmy jednokładności  i  takie, że oraz . Jednokładność jest prosta oraz , więc jej środkiem musi być punkt  . Leży on zatem na prostej .

Punkty , i  są środkami jednokładności , i  takich, że , oraz . Złożenie to jednokładność prosta i  Stąd jej środkiem, który na mocy twierdzenia musi leżeć na prostej , jest na mocy faktu punkt 

Narysujmy okrąg o środku i promieniu (czyli wewnętrznie styczny do danego) – mamy wtedy Prościej już chyba nie można.