Delta mi!

Opiszmy na elipsie prostokąt o bokach długości i równoległych do jej półosi. Powinowactwo prostokątne o skali i o osi zawierającej dużą półoś elipsy przekształca nasz prostokąt na kwadrat, a elipsę na koło weń wpisane. Stąd stosunek pola elipsy do pola prostokąta równy jest stosunkowi pola koła do pola kwadratu na nim opisanego, czyli Wobec tego

Z Twierdzenia Pascala dla sześciokąta punkty oraz są współliniowe.

Niech Z Twierdzenia Pascala dla sześciokąta punkt leży na prostej wyznaczonej przez punkty oraz Z kolei z Twierdzenia Pascala dla punkt także leży na prostej wyznaczonej przez punkty oraz

Z warunku wynika, że punkt leży na okręgu Z Twierdzenia Pascala dla sześciokąta uzyskujemy współliniowość punktów oraz niezależnego od i punktu co kończy dowód.

Skoro prosta  jest prostopadła do  to jako bloki z definicji można przyjąć okręgi o średnicach  i   gdyż są prostopadłe do  i przechodzą przez  Oczywiście, sama prosta  też się do tego celu nadaje.

Niech  będzie okręgiem o średnicy  Okręgi  są do niego prostopadłe, a zatem punkty  są symetryczne względem  Stąd już wynika, że są współliniowe z punktem  jako środkiem tego okręgu – prosta poprowadzona z   do punktu  jest prostopadła do  więc musi przechodzić przez punkt

Przeprowadźmy symetrię względem dowolnego okręgu o środku w  ; obraz każdej z figur oznaczmy przez dodanie znaku prim. Na podstawie własności 1 możemy zauważyć, że figury z zadania zamieniły się rolami: okręgi  i   przecinają się w punktach  i   prosta  jest styczna do tych okręgów w punktach  okrąg  jest opisany na trójkącie  proste  i   są styczne do  w punktach  oraz przecinają się w punkcie

Dzięki własności 3 wiemy, że punkt  jest symetryczny do punktu  względem okręgu  co na mocy zadania 1 oznacza, że jest środkiem odcinka  W ten sposób otrzymaliśmy konfigurację z zadania 2, a zatem punkty  są współliniowe. Obrazem prostej  jest prosta  co kończy rozwiązanie.

To zadanie o równoległobokach. Oznaczmy środek okręgu przez środek okręgu przez i niech będzie punktem symetrycznym do względem prostej Czworokąty i są rombami. Zatem

skąd wniosek, że czworokąt jest równoległobokiem. Również czworokąt jest (z założenia) równoległobokiem. Stąd - jak przed chwilą - wnosimy, że równoległobokiem jest także czworokąt Wobec tego

Ta równość, wraz z poprzednią uwagą o rombie pokazuje, że odległość punktu od każdego z trójki punktów jest równa promieniowi dwóch danych okręgów. Inaczej mówiąc, jest środkiem okręgu przystającego do nich i przechodzącego przez punkty to jest pierwsza część tezy. Druga część tezy, dotycząca okręgu opisanego na trójkącie wynika z pierwszej przez symetrię (logiczną).

Niech będzie punktem przecięcia prostych i oraz

Z trójkąta otrzymujemy Ponadto kąty i są oparte na tym samym łuku, a stąd natomiast kąt jako kąt zewnętrzny trójkąta ma miarę W takim razie więc trójkąt jest prostokątny.

Niech  będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie  Ponieważ trójkąt  jest równoramienny, dwusieczna kąta  to symetralna odcinka  więc leży na niej punkt  Oznaczmy  Wówczas  a skoro  to

skąd łatwo otrzymać  Równość  jest równoważna  czyli  A to jest równoważne temu, że  jest połówką trójkąta równobocznego lub że  jest środkiem

Przyjmijmy zwykłe oznaczenia:  Równości

dodajemy stronami i otrzymujemy

To znaczy, że punkty  i   leżą po przeciwnych stronach prostej  w jednakowych odległościach od odpowiednich końców odcinka :

Wobec równoramienności trójkąta  oznacza to z kolei, że punkty  i   leżą w jednakowych odległościach od prostej  Stąd już wynika, że ta prosta przechodzi przez środek odcinka

Przyjmijmy oznaczenia punktów styczności okręgów wpisanych z bokami czworokątów jak na rysunku. Warunek  jest równoważny  gdyż  i   Zauważmy, że

Zatem

Niech  będzie punktem styczności prostej  do danego okręgu. Wtedy  oraz zatem  oraz  Stąd

Na mocy rozwiązania zadania 6 wiemy więc, że

Stąd wniosek, że punkty  i   leżą na okręgu o średnicy  Leży na nim też punkt  bo

Jeśli taki punkt  istnieje, to  jest dwusieczną kąta zatem z twierdzenia o dwusiecznej  Punkty  i  leżą więc na okręgu Apoloniusza dla punktów  i stałej 1/2. Analogicznie punkty  i   leżą na okręgu Apoloniusza dla punktów  i stałej 1/3.

Niech punkt  na prostej  różny od  spełnia warunek  Wtedy

oraz

zatem punkt  należy do obydwu powyższych okręgów. Średnicą pierwszego z nich jest więc  a drugiego – Stąd jedynym ich wspólnym punktem jest  czyli  Ale wtedy  leży na prostej – sprzeczność.

Ponieważ  dla  więc wszystkie punkty  leżą na sferze Apoloniusza dla punktów  i stałej 2 (zdefiniowanej analogicznie do okręgu). Jej średnicę wyznaczają punkty  na prostej  spełniające warunek  dla  Wówczas

Wobec tego  także jest średnicą rozważanej sfery. Stąd kąt  jest prosty, jako wpisany oparty na średnicy. Proste  i   przecinają się (w środku sfery), więc punkty  leżą na jednej płaszczyźnie.