Delta mi!

Niech gdzie oznacza -krotne złożenie funkcji Z warunków zadania wynika, że dla pewnego mamy Jeżeli to

co nie może mieć miejsca, gdyż reszty z dzielenia przez wyrazów ciągu są parami różne. To oznacza, że czyli

Przypuśćmy nie wprost, że czyli Wówczas istnieją takie liczby całkowite że

W szczególności czyli Z warunków zadania wynika, że dla pewnego mamy

Wówczas

czyli (gdzie w razie potrzeby przyjmujemy ). To stoi w sprzeczności z założeniem, że reszty z dzielenia przez wyrazów ciągu są parami różne.

Funkcja jest reprezentowana przez jej wykres - w tym przypadku układ kropek na "planszy"

(to zbiór punktów kratowych w kwadracie ), po jednej kropce na każdej linii pionowej. Stosując do takiego układu funkcję uzyskujemy przesunięcie wszystkich kropek o jednostkę w dół, z wyjątkiem tych, które już były na dolnej krawędzi; one nie zmieniają położenia. Działanie funkcji jest podobne (ruch w górę; blokada na górnej krawędzi).

Niech będą dwoma różnymi punktami zbioru takimi, że odcinek jest równoległy do przekątnej kwadratu, przy czym punkt leży na prawo i w górę od Dla takiej pary punktów niech oznacza funkcję, której wykres składa się z punktów kratowych, położonych na odcinku poziomym od lewego skraja planszy do na odcinku i na odcinku od do prawego skraja planszy (rysunek obok). Złożenie takiej funkcji z dowolną z operacji daje w wyniku znów funkcję takiej postaci lub funkcję stałą (o wykresie: wszystkie kropki na krawędzi górnej lub dolnej). Złożenie funkcji stałej z lub daje oczywiście także funkcję stałą.

Wniosek: startując od odwzorowania tożsamościowego i stosując skończenie wiele razy operacje (w dowolnej kolejności) możemy uzyskać tylko funkcje typu oraz funkcje stałe. Co ważne, każdą taką funkcję da się w ten sposób uzyskać (przykładową ewolucję przedstawia rysunek poniżej).

Pozostaje zliczyć funkcje - czyli możliwe pary punktów - oraz doliczyć funkcje stałe. Punkty mogą leżeć na przekątnej (przechodzącej przez punktów kratowych), na jednej z dwóch linii (po punktów kratowych), na jednej z dwóch linii (po punktów kratowych), itd. Liczba możliwych do uzyskania funkcji (więc funkcji stałych oraz wszystkich funkcji ) wynosi zatem

Z wypukłości funkcji wynika, że dla każdej pary liczb dodatnich zachodzi nierówność

(1)

Jeśli w jakimkolwiek punkcie to prawa strona (1) przedstawia funkcję nieograniczoną z góry i mamy tezę.

Dalej zakładamy, że (na całym przedziale ). Warunek dany w założeniach mówi więc, że dla każdej liczby całkowitej mamy W nierówności (1) podstawiamy i otrzymujemy

stąd

Wystarczy teraz przesumować te związki po :

Wyrażenie w nawiasie przybiera wartości dowolnie wielkie, zatem funkcja jest (w rozważanym przypadku) nieograniczona z dołu.

Przeprowadzimy dowód konstruktywny - zidentyfikujemy rozwiązania danego równania.

Zauważmy, że jeżeli to

skąd wynika, że dane równanie nie może być spełnione. Wobec tego a zatem dla pewnego (a właściwie dwóch)

Zauważmy, że skoro to

wobec czego

Dane równanie przybiera wówczas postać czyli

skąd lub dla pewnej liczby całkowitej Pozostaje zauważyć, że jeżeli to jeżeli zaś to przy czym rozwiązania są różne, o ile tylko Tym samym otrzymujemy łącznie różnych rozwiązań postaci

Niech będzie funkcją, spełniającą postawione warunki, i przyjmijmy, że funkcja nie jest stała. Istnieją więc liczby dla których W drugim z warunków, podanych w zadaniu, przyjmujemy i tworzymy ciąg arytmetyczny Skoro zatem (dla wszystkich ). Jednocześnie czyli

(1)

Analogicznie

(2)

W myśl pierwszego z podanych warunków,

Po lewej stronie wstawiamy wyrażenia (1), (2) i dostajemy nierówności

(3)

Dla dużych wyrażenia ujęte w symbol wartości bezwzględnej mają wartość dodatnią (bo ). Można więc opuścić moduły. Ale zależność (3) - po skasowaniu modułów - redukuje się do postaci ; sprzeczność.

W konsekwencji funkcja musi być stała. Jasne, że każda funkcja postaci spełnia wymagane warunki.

Ustalmy liczbę rzeczywistą i przyjmijmy Załóżmy, że Możemy wówczas podstawić w podanym równaniu (bo ), otrzymując związek

Ale więc liczba po lewej stronie jest równa Prawa strona ma inną wartość, skoro (wartości funkcji są z założenia niezerowe). Sprzeczność dowodzi, że czyli Wobec dowolności liczby znaczy to, że funkcja jest dana wzorem dla wszystkich Sprawdzenie, że ta funkcja spełnia zadane równanie, jest natychmiastowe. Jest ona zatem jedynym rozwiązaniem tego równania.

Spróbujmy poszukać rozwiązania wśród funkcji postaci (motywacja: zarówno pochodna, jak i funkcja odwrotna do takiej funkcji, też ma taką postać - próba ma szansę powodzenia). Gdy stałe są dodatnie, funkcja jest ściśle rosnąca i przekształca przedział na ten sam przedział. Dla ustalonej wartości rozwiązujemy równanie (z niewiadomą ), otrzymując Tak więc

Aby funkcje i były identyczne, wystarczy, by parametry dodatnie spełniały równania

Drugie równanie ma w liczbach dodatnich jedyne rozwiązanie Dla tej stałej pierwsze równanie przybiera formę z rozwiązaniem Funkcja z tymi parametrami ma wymaganą własność.

[Dla dociekliwych - pytanie: czy to jedyna taka funkcja? Jeśli nie - jak znaleźć wszystkie?]

Załóżmy przeciwnie, że takie funkcje kwadratowe istnieją. Wówczas liczby są pierwiastkami wielomianu czwartego stopnia Ponieważ dla tylko wówczas, gdy jest wierzchołkiem funkcji to otrzymujemy i Ponadto lub

Liczby i są pierwiastkami funkcji kwadratowej więc mamy i oraz Dla funkcji ostatni warunek wymusza co daje sprzeczność.

Zauważmy, że z własności funkcji wynika prawdziwość dwóch nierówności:

Po wymnożeniu tych nierówności stronami otrzymujemy tezę.

Pál Erdős [Ann. of Math. (2) 47 (1946), ] wykazał, że funkcja spełniająca podane warunki musi być postaci dla pewnego

Pokażemy, że gdy jest nieparzystą liczbą pierwszą, równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.

Przypuśćmy, że para liczb całkowitych jest rozwiązaniem. Zgodnie z małym twierdzeniem Fermata,

Jeśli więc to czyli

Z wypukłości funkcji (w zbiorze liczb dodatnich) wynika nierówność

Funkcja jest rosnąca; stąd Skoro zaś (mod ), widzimy, że A zatem Aby uzyskać oczekiwaną sprzeczność, wystarczy wykazać, że

(1)

Oznaczmy: ; wtedy Ponownie korzystając z wypukłości funkcji mamy nierówność Wobec tego

(2)

Z drugiej strony,

(3)

Nierówność (1) będzie udowodniona, jeśli pokażemy, że w wyrażeniu po prawej stronie (2) współczynnik stojący przy jest nie mniejszy niż analogiczny współczynnik w wyrażeniu (3); czyli, że

(4)

Łatwo przerachować, że

Stąd ; oszacowanie (4) gotowe, dowód zakończony.

Tak, dla każdej funkcji łatwo wskazać funkcję o wymaganych własnościach. Niech będzie rosnącym ciągiem wszystkich potęg liczb pierwszych:

Funkcja (o własności gdy ) jest wyznaczona przez ciąg wartości ; zaś podany warunek multyplikatywności nie stawia na owe wartości żadnych ograniczeń. Wobec tego konstruujemy taki ciąg indukcyjnie. Niech będzie dowolną liczbą naturalną większą od

Załóżmy, że liczby …, zostały już określone. Patrzymy na zbiór wszystkich liczb postaci gdzie jest iloczynem różnych liczb ze zbioru Określamy jako dowolną liczbę naturalną większą od wszystkich takich liczb

Wybrany ciąg wartości wraz z warunkiem multyplikatywności, jednoznacznie generuje funkcję Spełnia ona także pozostały z zadanych warunków; jeśli bowiem liczba zostanie zapisana jako iloczyn gdzie wówczas

Zauważmy najpierw, że to kwadrat odległości między punktami oraz

Pierwszy punkt leży na okręgu zadanym równaniem (a dokładniej na jego części znajdującej się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych), a drugi na gałęzi hiperboli dla Aby znaleźć najmniejszą wartość funkcji wystarczy znaleźć odległość okręgu od hiperboli Niech będzie wybranym punktem na hiperboli, a punkt punktem przecięcia z odcinkiem gdzie jest środkiem układu współrzędnych (patrz rysunek). Odległość punktu od jest równa długości odcinka Niech punkt będzie symetryczny do względem prostej Odległość od jest równa odległości od Ponadto, z wypukłości funkcji dla wynika, że punkt znajduje się po przeciwnej stronie prostej niż łuk okręgu o środku w punkcie i promieniu równym długości odcinka łączący punkty i (patrz rysunek). Zatem odległość od jest mniejsza niż odległość od Z dowolności wynika, że najmniejsza wartość funkcji jest równa kwadratowi długości odcinka gdzie czyli

Gdyby było dla pewnego to wstawiając

mielibyśmy

skąd - sprzeczność. Zatem dla każdego więc

co oznacza, że jest nierosnąca.

Proste, mamy przecież wzór na najmniejszą wartość funkcji kwadratowej (gdy takowa wartość istnieje): to "minus delta przez cztery a", więc obliczamy "deltę", dopisujemy minus, dzielimy przez 4 i otrzymujemy najmniejszą wartość równą 9.

Ponieważ więc najmniejszą wartość funkcja osiąga wtedy, gdy i jest ona równa 9.

Po podstawieniu otrzymujemy równanie

co po przekształceniach prowadzi do równania

co daje lub

Dla jakich wartości zachodzi równość Sprawdzamy: gdy Pozostaje sprawdzić, dla jakich wartości mamy : gdy a więc gdy lub

Jeśli funkcja kwadratowa przyjmuje tę samą wartość w punktach i to punkty te muszą być położone na osi symetrycznie względem osi symetrii wykresu funkcji. Dla funkcji osią symetrii jest prosta zatem z warunku wynika, że i dla pewnego Stąd dochodzimy do równania

z którego otrzymujemy W konsekwencji a z symetrii sytuacji mamy drugie rozwiązanie: oraz

Mamy Możemy bez utraty ogólności przyjąć więc, że (zmiana wartości parametrów na oraz przesuwa wykres w poziomie, co nie zmienia zbioru ). Mamy kilka przypadków.

1.

; wtedy

2.

; wtedy jest odcinkiem o długości

3.

; wtedy gdzie Łączna długość tych dwóch odcinków wynosi

Z podanych warunków wynika od razu, że jest różnowartościowym odwzorowaniem przedziału na cały ten sam przedział. Ma więc funkcję odwrotną; a skoro zatem funkcja jest tą odwrotną do (Łatwo uzasadnić ciągłość obu funkcji - ale ta wiedza nie będzie tu potrzebna).

Dalszy ciąg rozumowania to starogreckie "patrz(!)". Rysunek przedstawia wykres (przykładowej) funkcji leżący w kwadracie którego dwoma bokami są odcinki na poziomej i pionowej osi układu współrzędnych. Ta sama krzywa jest też wykresem funkcji gdy przyjmiemy, że (rozważając ) odkładamy zmienną niezależną na osi pionowej, a zależną na poziomej.

Niech będzie wielokątem powstałym z połączenia prostokątów, których podstawami są odcinki osi poziomej a wysokości wynoszą kolejno Analogicznie tworzymy wielokąt rozważając funkcję i zamieniając role osi współrzędnych.

Wielokąty i są (prawie) rozłączne - mogą mieć wspólne jedynie niektóre wierzchołki. Uzasadnienie: jeśli punkt należy do to znaczy, że dla pewnego zachodzą nierówności ; jeżeli ten sam punkt należy do to dla pewnego mamy ; stąd

Zauważmy wreszcie, że kwadracik o boku mający wierzchołek w punkcie nie ma punktów wspólnych ani z wielokątem ani z Po jego usunięciu z kwadratu pozostaje figura o polu ; figury i są w niej zawarte, ale nie wypełniają jej szczelnie, skoro nie mają wspólnych fragmentów boków (poza wierzchołkami).

Pole wielokąta wynosi ; pole wynosi Suma tych pól jest mniejsza niż Mnożymy uzyskaną nierówność przez i mamy tezę zadania.

(Stała jest optymalna; nierówność staje się bliska równości, gdy wykres funkcji zbliża się do odpowiednio dobranej linii łamanej, utworzonej z odcinków poziomych i pionowych).

Niech  spełnia warunek z zadania. Korzystając dwukrotnie z równości (najpierw dla  i   a następnie dla  i  ), dostajemy

Jeśli w otrzymanej równości zamienimy  i   rolami, to lewa strona się nie zmieni, więc przyrównując prawe strony, otrzymamy

zatem dla pewnej stałej  Wstawiając to do wyjściowego równania, nietrudno się przekonać, że jedyną funkcją spełniającą zadany warunek jest