Delta mi!

Niech  będzie funkcją, spełniającą podane równania. Wykażemy, że jest to funkcja nieparzysta. Z drugiego równania widać, że  Tak więc  Przypuśćmy, że dla pewnej liczby   zachodzi równość  Wystarczy pokazać, że  Otóż

(ostatnia równość wynika ze spostrzeżenia, że  dla wszystkich  ). Stąd  co jest prawdą jedynie dla  Zatem  jest funkcją nieparzystą.

Dla  mamy  Wobec nieparzystości,  dla  Dla  dostajemy oszacowanie  To znaczy, że funkcja   odwzorowuje przedział  w siebie. Z równania  wynika teraz, że funkcja   odwzorowuje każdy przedział postaci  w siebie  Zachodzi więc nierówność

Weźmy dowolną liczbę  i oznaczmy  Z równania  dostajemy  dla  Stąd  czyli

co w granicy (przy ) daje równość  Wykazaliśmy w ten sposób, że  dla 

Dzięki równości  wnosimy stąd, że

Funkcja identycznościowa spełnia oba równania układu i jest jego jedynym rozwiązaniem.

Oznaczmy przez operację polegającą na zmianie znaku na -tej współrzędnej

Zauważmy, że dla dowolnego punktu zachodzi równość

Z drugiej strony, skoro przyjmuje tylko wartości 1 i to ta różnica może przyjmować tylko trzy wartości: i Zatem dla tych które są niezerowe, musi być

Wykażemy teraz, że funkcja ma dokładnie jeden niezerowy współczynnik. Załóżmy przeciwnie, że ma przynajmniej dwa, np. i Bez utraty ogólności możemy przyjąć, że Wówczas, oznaczając przez mamy

Innymi słowy, przyjmuje w tych trzech punktach trzy różne wartości, co przeczy temu, że wartości należą do zbioru dwuelementowego. Zatem jest postaci dla pewnego

Niech tymi niezerowymi współczynnikami będą  i   stojące zaś przy nich jednomiany nazwijmy odpowiednio  i   Załóżmy, że wśród tych jednomianów najwyższy stopień ma  Istnieje wtedy zmienna, która występuje w   ale nie występuje w   lub – bez utraty ogólności możemy przyjąć, że  ma tę własność. Wówczas

W pierwszym przypadku mamy  ale z drugiej strony, skoro  to  Z zadania 1394 wiemy, że  otrzymujemy więc  wbrew założeniu. Pozostałe przypadki wymagają analogicznego rozumowania.

Wielomianem o dokładnie czterech niezerowych współczynnikach spełniającym warunki zadania jest np.

Niech  będzie najmniejszą liczbą o tej własności, że  dla każdej liczby rzeczywistej  Pokażemy, że wówczas  jest funkcją stałą, równą  w każdym punkcie. Załóżmy nie wprost, że dla pewnego  jest  Skoro

to z określenia liczby  znajdziemy liczbę  dla której

To jednak daje sprzeczność, bowiem

Zróbmy prostą zamianę zmiennej:  Uzyskujemy ciąg zależności (korzystając w pewnym momencie z nierówności Bernoulliego dla wykładnika rzeczywistego  ):

Dla  nierówność staje się równością:  Jest to wartość minimalna funkcji  na przedziale

Załóżmy, że taka funkcja  istnieje. Zauważmy, że

więc  dla dowolnych  co oznacza, że  jest malejąca. Warunek z treści zadania można zapisać tak:

Ustalmy  i weźmy taką liczbę całkowitą  aby  Wtedy dla  mamy

skąd, sumując stronami  nierówności, dostajemy

Zatem dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej  zachodzi nierówność

Biorąc  tak duże, aby było  otrzymujemy  co przeczy temu, że  przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.

Nie wynika. Prosty kontrprzykład: określamy funkcję  najpierw w przedziale  wzorem

Jest ona w tym przedziale ściśle rosnąca, ściśle wypukła i odwzorowuje przedział  na cały ten przedział; łatwo wyznaczyć funkcję odwrotną:

Widać, że jeżeli    są liczbami wymiernymi z przedziału  to    też są liczbami wymiernymi z przedziału  Zatem obrazem zbioru  jest ten sam zbiór.

Rozszerzamy  do funkcji  przesuwając jej wykres o wektor  i jego całkowite wielokrotności. Formalnie: przyjmujemy

Tak rozszerzona funkcja  jest ściśle rosnąca; w każdym z przedziałów  jest ściśle wypukła – więc nie jest liniowa w żadnym przedziale długości dodatniej. Wreszcie, jest jasne, że obrazem zbioru  jest cały zbiór

Niech  będzie funkcją, spełniającą podane warunki. Zauważmy, że  w przedziale  (w przeciwnym razie, oznaczając przez  najmniejsze miejsce zerowe funkcji  mielibyśmy w przedziale  nierówności    skąd  czyli ).

Weźmy pod uwagę funkcję  z pochodną

Dostajemy oszacowanie

Ale wartości funkcji  w przedziale  są ujemne. Tak więc  dla wszystkich ; to znaczy, że liczba  nie należy do tego przedziału – czyli zachodzi nierówność  Na odwrót, jeżeli  to określamy funkcję  wzorem

(suma w nawiasie jest dodatnia w tym przedziale, więc określenie jest poprawne). Ma ona wymagane własności:    Stąd odpowiedź: liczby  o które pyta zadanie, są scharakteryzowane nierównością

Niech będzie okresem funkcji Z równości czyli

(czyli jeszcze prościej: ) wnosimy, że

Pochodna też jest funkcją -okresową: czyli

Zatem albo (liczba wymierna), albo skąd ( ),

Niech  będzie jedną z szukanych funkcji. Oznaczmy wartości  kolejno przez ; oznaczmy ponadto    Kładąc w równaniu  oraz  dostajemy

(1)

Każda czwórka  w której  daje informację w postaci równości  Biorąc czwórki          otrzymujemy w ten sposób związki

(2)

Natomiast czwórki        dają zależności

(3)

Jeżeli  to z pierwszej równości (1) oraz ze związków (2) wnosimy kolejno, że ; ; ; ; ; ;  Tak więc ; skoro zaś  ta wspólna wartość wynosi 1.

Jeżeli natomiast  to korzystamy z zależności (3) oraz (1) i łatwo stwierdzamy, że ; ;  Zatem na zbiorze  funkcja  jest stała, o wartości 1 lub 0. Każda liczba naturalna  daje się zapisać w postaci  dla pewnych  Przez oczywistą indukcję uzyskujemy wniosek, że  jest funkcją tożsamościowo równą 1 lub 0. Każda z nich spełnia zadane równanie.

Zamieniając miejscami i , a następnie mnożąc uzyskaną nierówność przez , otrzymujemy nierówność taką samą, jak wyjściowa, lecz przeciwnie skierowaną. Treścią zadania jest więc równanie funkcyjne

Podstawiając i oznaczając , dostajemy równanie , czyli . Zatem

Proste sprawdzenie pokazuje, że każda taka funkcja spełnia rozważane równanie.