Delta mi!

Przy oznaczeniach z rysunku w artykule wykazać, że

Odcinki i są wysokościami trójkąta różnobocznego Niech oznacza punkt przecięcia prostych i analogicznie definiujemy punkty i Wykazać, że punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej Eulera trójkąta

Dany jest trójkąt wpisany w okrąg Okrąg jest styczny do odcinków i oraz do okręgu w punkcie Okrąg zaś jest dopisany do trójkąta i styczny do boku w punkcie Wykazać, że

Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt zaś jest okręgiem opisanym na tym trójkącie. Okrąg styczny do odcinków jest styczny do okręgu w punkcie a jest środkiem tego łuku okręgu na którym leży punkt Wykazać, że punkty są współliniowe.

Okrąg o środku jest wpisany w trójkąt Okrąg styczny do okręgu opisanego na trójkącie jest styczny do odcinków i odpowiednio w punktach i Wykazać, że punkt leży na odcinku

Trójkąt różnoboczny jest wpisany w okrąg Punkty są środkami łuków niezawierających pozostałych wierzchołków trójkąta. Punkty są symetryczne do punktów odpowiednio względem boków Wykazać, że punkty oraz ortocentrum trójkąta leżą na jednym okręgu.

Odrobina klasyki:

(a)

W kąt o wierzchołku wpisano dwa okręgi: styczny do ramion kąta w punktach i oraz - w punktach i Wykazać, że okręgi te wyznaczają cięciwy jednakowej długości na ich wspólnej siecznej

(b)

Na każdej wspólnej stycznej dwóch rozłącznych zewnętrznie okręgów zaznaczono odcinek łączący punkty styczności. Dowieść, że środki wszystkich czterech zaznaczonych odcinków leżą na jednej prostej.

(c)

Okręgi i przecinają się w punktach i Z punktu leżącego na prostej poprowadzono styczną do w punkcie i do w punkcie Udowodnić, że trójkąt jest równoramienny.

Dany jest trapez o podstawach i Okręgi o średnicach i przecinają się w punktach i Przekątne trapezu przecinają się w punkcie Dowieść, że punkty i leżą na jednej prostej.

Odcinek jest wysokością trójkąta w którym Okrąg o środku i promieniu oraz okrąg opisany na trójkącie przecinają się w punktach i Dowieść, że prosta przechodzi przez środek odcinka

Z punktu poprowadzono styczne do okręgu o środku w punktach i Punkt jest środkiem odcinka Okrąg przechodzący przez punkty i przecina okrąg w punktach i Wykazać, że punkty i leżą na jednej prostej.

Dany jest trójkąt Okrąg styczny do odcinków i przecina odcinek w punktach i Wykazać, że

Punkt jest środkiem okręgu opisanego, a punkt ortocentrum trójkąta ostrokątnego i różnobocznego Punkty i leżą odpowiednio na odcinkach i przy czym czworokąt jest równoległobokiem. Wykazać, że

Średnica i prostopadła do niej cięciwa okręgu przecinają się w punkcie Okrąg jest styczny (wewnętrznie) do okręgu i do odcinków oraz Niech będzie punktem styczności okręgu do odcinka Wykazać, że

Przyklejamy do stołu monetę 1 zł i kładziemy nad nią, styczną do niej, drugą monetę 1 zł, z orłem ustawionym jak na rysunku. Następnie tę drugą monetę toczymy wokół przyklejonej. Jak ustawiony będzie orzeł, gdy toczona moneta znajdzie się na dole monety nieruchomej?

Jeśli szerokość pewnego prostokąta powiększyć o 50%, to jego szerokość powiększy się o 25%. O ile procent zmniejszy się długość tego prostokąta, jeśli jego długość zmniejszymy o 50%?

W czworokącie wypukłym punkty i są odpowiednio środkami boków i zaś przekątne przecinają się w punkcie Wykazać, że prosta zawierająca dwusieczną kąta jest prostopadła do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy

Dany jest czworokąt w którym Na bokach i zbudowano na zewnątrz takie trójkąty i że oraz Udowodnić, że środki odcinków i leżą na jednej prostej.

Na płaszczyźnie dane są kwadraty oraz przeciwnie zorientowane o bokach odpowiednio długości i Punkty leżą odpowiednio na odcinkach przy czym

Dowieść, że punkty i leżą na jednej prostej.

Częścią wspólną dwóch jednakowych kwadratów jest ośmiokąt. Boki jednego z kwadratów zostały narysowane na czerwono, drugiego zaś na niebiesko. Udowodnić, że suma długości czerwonych boków ośmiokąta jest równa sumie długości jego niebieskich boków.

Płaszczyzna przecina krawędzie boczne graniastosłupa prostego o podstawie równoległoboku, tworząc w przekroju czworokąt wypukły Niech będzie odległością punktu od płaszczyzny ustalonej podstawy graniastosłupa. Udowodnić, że