Delta mi!

(a) Na podstawie zadania 4 stwierdzamy, że jest prostokątnym trójkątem równoramiennym, przy czym Zauważmy, że oraz Tak więc W szczególności odcinki i  są prostopadłe.

(b) Z  wiemy, że jest symetrią środkową  Ponieważ więc środek  tej symetrii pokrywa się ze środkiem odcinka Ponadto z  wynika również, że jest prostokątnym trójkątem równoramiennym. Z zadania 4 wynika, że oraz Tak więc Stąd jest symetrią środkową względem środka odcinka oraz tak jak poprzednio jest prostokątnym trójkątem równoramiennym. Ostatecznie czworokąt jest kwadratem.

Niech punkty będą środkami ciężkości odpowiednio powyższych czterech trójkątów,  zaś – środkiem ciężkości czwórki punktów . Z własności środków ciężkości, dla każdego punkty leżą, w tej właśnie kolejności, na jednej prostej oraz  zatem Z twierdzenia o prostej Eulera, dla każdego  punkty  leżą, w tej właśnie kolejności, na jednej prostej oraz , stąd  Złożenie to jednokładność o skali (symetria środkowa), która przeprowadza na . Zatem czworokąty te są przystające.

Niech będzie okręgiem wpisanym w trójkąt . Istnieje taka, że , oraz taka, że , wtedy . Złożenie jest więc jednokładnością odwrotną, przeprowadzającą na  (istnieje dokładnie jedna, nawet jeśli  i  są przystające lub równe). Stąd jej środek leży na prostej . Analogicznie, leży też na prostych  i  .

Rozważmy jednokładności  i  takie, że oraz . Jednokładność jest prosta oraz , więc jej środkiem musi być punkt  . Leży on zatem na prostej .

Punkty , i  są środkami jednokładności , i  takich, że , oraz . Złożenie to jednokładność prosta i  Stąd jej środkiem, który na mocy twierdzenia musi leżeć na prostej , jest na mocy faktu punkt