Delta mi!

Obrazem prostej  w inwersji względem danego okręgu jest okrąg przechodzący przez środek inwersji  i przez stałe punkty  i  Leży na nim też punkt  bo punkt  leży na prostej  Średnicą tego okręgu jest  ponieważ kąty  i   są proste, stąd także

Analogicznie  więc  Z definicji inwersji punkty  są współliniowe, co kończy dowód.

Rozważmy inwersję względem dowolnego okręgu o środku w punkcie  przy oznaczeniach jak na rysunku. Proste  i   są stałe przy tej inwersji. Obrazem każdego z okręgów, przechodzącego przez środek inwersji, jest prosta równoległa odpowiednio do  lub (okrąg styczny do prostej  lub  mieści się w półpłaszczyźnie przez nią wyznaczonej, więc jego obraz też, rysunek obok). Zatem obrazami kolorowych punktów są wierzchołki prostokąta. Leżą one na okręgu nieprzechodzącym przez środek inwersji (bo środek ten jest wewnątrz prostokąta), więc także przed inwersją kolorowe punkty leżą na jednym okręgu.

Obróćmy kwadrat o   wokół środka. Obrazem trójkąta  jest trójkąt  zatem  Analogicznie  Stąd

Obróćmy kwadrat o   wokół wierzchołka  niech  będzie obrazem punktu  Wtedy  zatem

Ponadto  więc  bo trójkąty te mają dodatkowo wspólny bok  Stąd

Z rozwiązania zadania 2 wiemy, że  Wysokości tych trójkątów poprowadzone z wierzchołka  są więc obie równe  czyli 1.

Punkty  leżą na jednym okręgu, bo  i punkty  leżą po tej samej stronie prostej  Kąt  jest prosty, więc  jest średnicą tego okręgu. Stąd  zatem  jest wysokością trójkąta  Analogicznie  jest wysokością tego trójkąta, więc  to jego ortocentrum. Wobec tego  jako trzecia wysokość, jest prostopadła do

Niech  będzie punktem styczności prostej  do danego okręgu. Wtedy  oraz zatem  oraz  Stąd

Na mocy rozwiązania zadania 6 wiemy więc, że

Stąd wniosek, że punkty  i   leżą na okręgu o średnicy  Leży na nim też punkt  bo

Obróćmy kwadrat o   wokół środka. Obrazem punktu  jest taki punkt  na boku  że  Obrazem prostej  jest prosta  jest ona prostopadła do  więc zawiera punkt  Opiszmy okrąg na prostokącie  jego średnicą jest  Punkt  leży na tym okręgu, ponieważ kąt  jest prosty. Średnicą okręgu jest także  więc również kąt  jest prosty.

Rozważmy obrót oraz punkt

Zauważmy, że Tak więc i w szczególności Trójkąt jest równoboczny, więc Z założeń wynika, iż czyli Stosując twierdzenie kosinusów do trójkąta uzyskujemy

Rozważmy obrót Zauważmy, że  czyli Stąd w szczególności Na podstawie założeń ( oraz ) trójkąty i  są przystające. Tak więc czyli
Trójkat jest zatem równoboczny.

Rozważmy dowolny trójkąt spełniający warunki zadania. Niech będzie jego środkiem ciężkości. Zauważmy, że bok jest widziany z punktu pod kątem a więc leży na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym zbudowanym zewnętrznie na boku Analogicznie i  leżą na okręgach opisanych na trójkątach równobocznych zbudowanych odpowiednio na bokach i 

Oznaczmy przez kolejne środki tych okręgów. Z twierdzenia Napoleona (patrz np. Delta 6/2004) wynika, że trójkąt jest równoboczny. Niech oznacza jego środek ciężkości. Proste (jako dwusieczne kątów wewnętrzych trójkąta ) przecinają w połowie krótsze łuki narysowanych okręgów. Środki tych łuków oznaczmy kolejno przez     Zauważmy, że

Mamy więc

oraz

Stąd natychmiast wynika, że trójkąt jest równoboczny i jego środkiem ciężkości jest punkt Pozostaje wykazać, iż leży na okręgu opisanym na trójkącie W tym celu, ponieważ

oraz należą odpowiednio do prostych wystarczy zauważyć, że nie jest punktem wewnętrznym trójkąta W przeciwnym razie, boki trójkąta są widziane z punktu pod kątem a więc Wtedy punkt leży na zewnątrz okręgów opisanych na „dobudowanych” na początku trójkątach równobocznych. Oznacza to, że każdy z kątów ma miarę mniejszą od co jest niemożliwe.

Rozważmy przekształcenie będące złożeniem dwóch obrotów o kąt wokół punktów i Na podstawie jest symetrią środkową względem punktu takiego że Z drugiej strony zauważmy, że

Tak więc środek symetrii pokrywa się ze środkiem odcinka W szczególności jest równoramiennym trójkątem prostokątnym. Rozważając analogicznie złożenie obrotów dowodzimy, że jest również równoramiennym trójkątem prostokątnym. Tak więc czworokąt jest kwadratem.