Gra. Ania i Bartek grają w następującą grę. Najpierw ustalili wspólnie pewien podzbiór  odcinka  Następnie Ania wybiera dowolną liczbę po czym Bartek wybiera  W kolejnych ruchach, które wykonują na przemian, każdy gracz musi wybrać liczbę pomiędzy dwiema ostatnio wybranymi, czyli  oraz  dla 

Ciąg  jest rosnący i ograniczony z góry, a więc ma granicę  Jeśli   to wygrywa Ania, w przeciwnym przypadku – Bartek.

Strategia. Wykażemy, że jeśli zbiór   jest co najwyżej przeliczalny, to Bartek ma strategię wygrywającą. Dla  na pewno  więc Bartek wygra. Dla   ustawmy elementy zbioru   w nieskończony ciąg (jeśli   jest skończony, powtarzamy ostatni element). Niech Bartek dla każdego   wybiera  o ile jest to zgodne z zasadami gry, a w przeciwnym przypadku niech wybiera dowolne dozwolone 

W ten sposób dla każdego   albo albo  było dla Bartka niedostępne, czyli  lub  Wobec tego dla żadnego   liczba  nie należy do przedziału  Stąd żadna z liczb   nie jest równa   czyli   Opisana strategia faktycznie jest więc dla Bartka wygrywająca.

Morał. Oczywiście jeśli  grę wygrywa Ania niezależnie od przebiegu rozgrywki. Wobec powyższego oznacza to, że zbiór  nie jest przeliczalny.

Dalsze wnioski z tej gry: http://people.math.gatech.edu/~mbaker/pdf/realgame.pdf.

W deltoidzie 7/2013 wykazaliśmy też, że liczby wymierne tworzą zbiór przeliczalny. Zajmiemy się teraz przykrywaniem ich kolorowymi odcinkami.

Rys. 1 Otoczenie o promieniu  punktu  .

Zamalujemy całą prostą... Dana jest liczba Dla każdej liczby wymiernej zamalujmy wszystkie punkty z osi liczb rzeczywistych odległe od niej o mniej niż  (Rys. 1). Czy niezależnie od wyboru   pomalujemy w ten sposób całą prostą?

Okazuje się, że tak. Aby upewnić się, że liczba rzeczywista   zostanie zamalowana, rozważmy odcinek  Należy do niego pewna liczba wymierna   Odległość  od   jest mniejsza niż   zatem  zostanie zamalowany, gdy malować będziemy otoczenie punktu   o promieniu 

... a może niekoniecznie całą? Dla każdej liczby wymiernej   zamalujmy wszystkie punkty z osi liczb rzeczywistych odległe od niej o mniej niż pewna zależna od   dodatnia wielkość   Czy niezależnie od wyboru   pomalujemy całą prostą?

Rys. 2 Otoczenie o promieniu  punktu  .

Okazuje się, że niekoniecznie! Dla każdej liczby wymiernej   ustalmy   równe połowie odległości pomiędzy   a liczbą (Rys. 2). Wówczas liczba   nie zostanie zamalowana, gdyż od każdej liczby wymiernej   jest odległa o więcej niż 

Zamalujemy dowolnie mało! Nietrudno zmodyfikować powyższe rozumowanie, by zostawić niezamalowane dwie liczby niewymierne, np.   oraz   Czy można tak dobrać   by zamalować istotnie mniejszą część prostej?

Ustawmy liczby wymierne w ciąg  i niech  dla każdej liczby wymiernej   Wtedy dla   malujemy jej otoczenie o promieniu   a więc odcinek o długości 1, dla  – otoczenie o promieniu   czyli odcinek o długości   etc. Łączna długość zamalowanej w ten sposób części prostej nie przekracza

Pomalowaliśmy wszystkie liczby wymierne, a jednocześnie praktycznie cała prosta pozostała niezamalowana! Co więcej, zamalowana część prostej może mieć dowolnie małą długość – wystarczy odpowiednio zmniejszyć wszystkie