Przypuśćmy, że mamy taką funkcję  dla której istnieje tylko jedna para elementów  taka że  Wtedy możemy wybrać  i przyjąć  i   Jeśli istnieje  takie że  to wybieramy  i przyjmujemy  itd. Przyjęcie wartości  dla pewnego  „strąca” przywiązanie elementu  do elementu  będącego wartością funkcji  Nazwiemy to kaskadą.

Najprostszym zastosowaniem przedstawionego wyżej sposobu jest udowodnienie, że odcinki  i   mają tyle samo punktów. Zaczynając od funkcji  takiej że  oraz  dla każdego  określamy funkcję  taką że dla każdego  gdzie  jest liczbą naturalną, przyjmujemy  a dla każdego  które nie jest tej postaci, przyjmujemy

Użyjemy metody kaskadowej do udowodnienia twierdzenia Halla, znanego też pod nazwą twierdzenia o małżeństwach. Najpierw przypomnijmy problem.

Mamy dane dwa zbiory skończone  i   których elementy możemy wyobrazić sobie jako chłopców i dziewczyny. Mamy wyswatać chłopców, przy czym każdy z nich ma określony zbiór kandydatek na żonę (upraszczając, powiemy, że je zna), będący podzbiorem zbioru  Żonę, oczywiście, można mieć tylko jedną, podobnie żadna dziewczyna nie może mieć więcej niż jednego męża. Potrzebna jest zatem funkcja różnowartościowa  taka że każdy chłopiec  zna dziewczynę  Taką funkcję  nazywamy skojarzeniem o liczności równej liczbie chłopców

Znajdowanie skojarzenia jest oczywiście problemem grafowym; mamy tu graf dwudzielny, którego każda krawędź łączy chłopca i dziewczynę, którzy się znają. Skojarzenie można utożsamić z odpowiednim podzbiorem krawędzi. Twierdzenie Halla mówi, że skojarzenie o liczności  istnieje (czyli wszystkich chłopców można wyswatać) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego  dowolnie wybranych chłopców zna w sumie co najmniej  dziewczyn.

Konieczność tego warunku (oznaczymy go ) dla istnienia skojarzenia o liczności  jest oczywista (kto nie jest tego pewny, może przypomni sobie o zasadzie szufladkowej Dirichleta). Udowodnimy, że warunek  jest wystarczający, używając indukcji.

Jeśli  i chłopiec zna co najmniej jedną dziewczynę, to można go wyswatać. Przypuśćmy zatem, że  i twierdzenie jest prawdziwe dla  chłopców, a ponadto dla ustalonego zbioru  chłopców warunek (*) jest spełniony. Tym bardziej jest on spełniony, jeśli pominiemy jednego (dowolnego) chłopca. Możemy więc znaleźć dziewczyny dla pozostałych  chłopców. Pary na razie zaręczamy (zaręczyny, jeśli trzeba, będzie można zerwać). Spróbujemy teraz wyswatać -tego chłopca; utworzymy z niego zbiór jednoelementowy  Niech  oznacza zbiór tych dziewczyn, które -ty chłopiec zna. Zbiór  jest niepusty z uwagi na warunek  Jeśli jedna z tych dziewczyn nie ma narzeczonego, to możemy ją zaręczyć z  -tym chłopcem. W przeciwnym razie niech  oznacza zbiór chłopców zaręczonych z dziewczynami z   Niech teraz  oznacza zbiór tych dziewczyn, które znają chłopców ze zbioru  ale nie są z nimi zaręczone.

Jeśli któraś z nich nie ma narzeczonego, to możemy znaleźć w   chłopca, który ją zna, odwołać jego dotychczasowe zaręczyny i zaręczyć z tą dziewczyną. Wtedy w zbiorze  pojawia się dziewczyna niezaręczona, którą można zaręczyć z  -tym chłopcem.

W przeciwnym razie kolejne zbiory  (chłopców zaręczonych z dziewczynami z  ) oraz  (dziewczyn, które znają chłopców z   ale nie są z nimi zaręczone) możemy określać podobnie. Jest jasne, że dla każdego  zbiory  i   są równoliczne. Jeśli dla pewnego  w zbiorze  znajdzie się niezaręczona dziewczyna, to zaczynając od niej, możemy utworzyć kaskadę. Zrywamy zaręczyny chłopca z   który ją zna, i z nim ją zaręczamy, a jego dotychczasowa narzeczona z   zostanie nową narzeczoną chłopca z   itd.

Jeśli nie możemy znaleźć niezaręczonej dziewczyny, to określamy kolejne zbiory chłopców i dziewczyn, ale ten proces musi się zakończyć; chłopców jest skończenie wielu, a więc dla pewnego  otrzymamy  Wtedy nie możemy wszystkich chłopców wyswatać, ale to oznacza, że istnieje zbiór chłopców  dla którego zbiór znanych im dziewczyn  ma o przynajmniej jedną dziewczynę mniej. No i już. Choć zapewne działalność prawdziwego biura matrymonialnego jest znacznie bardziej skomplikowana.