Punktem wyjścia do poszukiwania odpowiedzi jest następująca obserwacja: zbiory i  można uznać za równoliczne, jeśli istnieje bijekcja czyli taka różnowartościowa funkcja z  w  której zbiorem wartości jest całe Okazuje się, że jest to bardzo trafna definicja równoliczności, mimo że w zastosowaniu do zbiorów nieskończonych prowadzi do zaskakujących wniosków. Zbiór nieskończony może być, między innymi, równoliczny ze swoim właściwym podzbiorem: przykładowo, zbiory i  są równoliczne ( oznacza zbiór liczb parzystych).

Gdy dwa zbiory skończone są równoliczne, to jest tak dlatego, iż istnieje taka liczba naturalna  że oba zbiory mają po elementów. Chcielibyśmy również zbiorom nieskończonym przyporządkować takie kanoniczne obiekty, które wskazywałyby na to, że dany zbiór należy do danej klasy równoliczności. Okazuje się, że nasz cel da się zrealizować: z każdym zbiorem można związać pewien zbiór równoliczny z  w taki sposób, że dokładnie wtedy, gdy i  są równoliczne. Dla skończonego -elementowego jest po prostu liczbą naturalną identyfikowaną ze zbiorem Zbiór nazywamy mocą zbioru (a czasem liczbą elementów ), a wszystkie możliwe moce nazywamy liczbami kardynalnymi. Liczby kardynalne oznaczamy najczęściej literami

Zatem, dokładnie wtedy, gdy jest równoliczny z podzbiorem Zachodzi oczekiwane, ale bardzo ważne twierdzenie

Możemy więc przyjąć:
wtedy i tylko wtedy, gdy i 

Czytelnik bez wątpienia zauważył, że nie podaliśmy definicji Było to zaniedbanie celowe: zdefiniowanie liczb kardynalnych, a zwłaszcza wyjaśnienie sensu definicji, to proces dość żmudny. Z naszego punktu widzenia ważniejsza od dokładnej definicji jest zresztą struktura liczb kardynalnych. Okazuje się na przykład, że dla dowolnych zbiorów zachodzi lub a ponadto w każdym niepustym zbiorze liczb kardynalnych istnieje najmniejsza. Największej liczby kardynalnej nie ma, o czym się wkrótce przekonamy. Najmniejszymi są liczby kardynalne skończone, czyli po prostu liczby naturalne. Najmniejszą liczbą nieskończoną jest moc zbioru liczb naturalnych, oznaczana symbolem Zbiory równoliczne z  nazywamy przeliczalnymi. Następną po liczbą kardynalną jest…ale o tym za chwilę.

Na liczbach kardynalnych można wykonywać niektóre szkolne działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie, potęgowanie. Jeśli i  są liczbami kardynalnymi, to jest mocą sumy dwu rozłącznych zbiorów, z których jeden ma moc a drugi ; jest mocą iloczynu kartezjańskiego zbioru mocy i zbioru mocy ; wreszcie jest mocą zbioru wszystkich funkcji ze zbioru mocy w zbiór mocy  W szczególności, jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru mocy

Dodawanie i mnożenie liczb nieskończonych to wyjątkowo proste operacje. Jeśli choć jedna z liczb jest nieskończona, to Pokażmy dla przykładu, że Jeśli i  są zbiorami przeliczalnymi, to funkcja zadana wzorem jest bijekcją między a  Czytelnik być może zechce nie tylko uzupełnić szczegóły tego rozumowania, ale i zastanowić się nad „geometrycznym sensem” funkcji (chodzi o ponumerowanie liczbami naturalnymi macierzy o przeliczalnie wielu wierszach, z których każdy jest przeliczalny).

Z potęgowaniem liczb kardynalnych nie jest już tak prosto. Udowodnimy, że już musi być zawsze ostro większe od Dowód jest łatwy, wystarczy zatem sprawdzić, że żaden zbiór nie może być równoliczny ze zbiorem wszystkich podzbiorów oznaczanym przez Przypuśćmy, że jest bijekcją i rozważmy zbiór Oczywiście a zatem istnieje taki że Zapytajmy teraz, czy Chwila zastanowienia pozwala stwierdzić, że każda z dwu możliwych odpowiedzi prowadzi do sprzeczności.

Tak więc, funkcja wykładnicza zawsze zwiększa swój argument. Dalej jednak sprawy stają się bardziej zagmatwane. Oznaczmy następną po liczbę kardynalną przez i zadajmy naturalne pytanie: czy ? Pozytywna odpowiedź, w którą wierzył Cantor, nazywa się hipotezą continuum, („continuum” bywa czasem określeniem zbioru liczb rzeczywistych, a  ). Problem rozstrzygnięcia hipotezy continuum był pierwszy na słynnej liście problemów otwartych przedstawionej przez Hilberta na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w 1900 r.

A zatem: czy ? W 1938 r. Kurt Gödel pokazał, że przy założeniu niesprzeczności zwykłych aksjomatów teorii mnogości niesprzeczna z nimi jest nie tylko ale nawet tak zwana uogólniona hipoteza continuum, czyli zdanie mówiące, że dla każdej nieskończonej jest następną liczbą po Metoda Gödla polegała na wybraniu z uniwersum wszystkich zbiorów „tylko tych, których istnienie jest wymuszone przez aksjomaty” (tzw. zbiorów konstruowalnych) i pokazaniu, że w tak ograniczonej strukturze jest spełniona. W 1963 r. natomiast Paul Cohen wprowadził tzw. metodę forcingu (która dla odmiany polega na dodawaniu nowych elementów do istniejących struktur) i za jej pomocą udowodnił, że również negacja jest niesprzeczna z aksjomatami.

Hipoteza continuum jest więc nierozstrzygalna: nie da się jej ani udowodnić, ani obalić w oparciu o standardowo przyjmowane aksjomaty. Interpretacja tego rezultatu jest sporna. Dla jednych zamyka on problem, a może świadczy nawet o tym, że jest pozbawiona wartości logicznej czy „z przyczyn zasadniczych niejasna”. Dla innych pozostaje wartym badania problemem, rodzącym m. in. pytania o ewentualne nowe aksjomaty.

Tak czy inaczej, wynik Cohena zamknął pewną epokę w dziejach teorii liczb kardynalnych: podstawy pojęciowe teorii były już dawno ustalone, a jej najsłynniejszy problem otwarty okazał się nierozstrzygalny. Z drugiej jednak strony, stworzone przez Cohena metody spowodowały bujny rozwój teorii mnogości, umożliwiając rozwiązanie wielu klasycznych problemów oraz postawienie (i rozwiązanie) wielu nowych. Na zakończenie wspomnijmy więc pokrótce o dwu kierunkach badań, które odegrały znaczącą rolę w ostatnich kilku dziesięcioleciach.

Skoro wiadomo już było, jaki jest status ważne stawało się ogólne pytanie o możliwe zachowanie funkcji Dość szybko odkryto, że dla „typowych” liczb kardynalnych (w tym dla wszystkich liczb nieskończonych, które są bezpośrednimi następnikami innych liczb) dowolność jest prawie całkowita. W. Easton udowodnił w 1970 r., że dla takich liczb dowolny przebieg funkcji wykładniczej zgodny z dwoma elementarnymi warunkami (funkcja musi być niemalejąca i spełniać pewne wzmocnienie warunku ) jest niesprzeczny z aksjomatami. W szczególności, na nieskończonych argumentach funkcja wykładnicza nie musi być ściśle rosnąca. Dla „nietypowych” liczb (tzw. singularnych) dowolność przebiegu funkcji wykładniczej jest znacznie mniejsza. Tu badania trwały dużo dłużej i nie przyniosły eleganckiego ogólnego wyniku w rodzaju twierdzenia Eastona.

Inny ważny przedmiot badań to tzw. duże liczby kardynalne. Mówiąc w uproszczeniu, duża liczba to taka, która ma pewne własności kombinatoryczne sprawiające, że musi być „znacznie większa” od liczb ją poprzedzających (mniej więcej w takim sensie, w jakim liczba jest znacznie większa od wszystkich liczb skończonych). Przykładem stosunkowo małych dużych liczb kardynalnych są liczby nieosiągalne, tj. takie że ilekroć to również a ponadto żaden zbiór mocy nie jest sumą mniej niż zbiorów mocy mniejszej niż

Duże liczby kardynalne mają dość specyficzny status logiczny. Można pokazać, że ich nieistnienie jest niesprzeczne ze zwykłymi aksjomatami teorii mnogości, oczywiście zakładając niesprzeczność samych aksjomatów. Domniemujemy, że istnienie dużych liczb kardynalnych jest również niesprzeczne z aksjomatami, ale tego dla odmiany nie można udowodnić – w przeciwnym przypadku popadlibyśmy w sprzeczność z drugim twierdzeniem Gödla. Mimo to wielu badaczy zajmujących się teorią mnogości ma dość przychylny stosunek do aksjomatów o istnieniu dużych liczb. Co więcej, aksjomaty takie bywają wykorzystywane i w głównonurtowej matematyce (np. w geometrii algebraicznej i topologii algebraicznej używa się czasem liczb nieosiągalnych w postaci tzw. uniwersów Grothendiecka). Niewykluczone, że któreś z tych aksjomatów zostaną kiedyś powszechnie przyjęte, choć na pewno nie odbędzie się to bez kontrowersji.