Delta mi!

Zauważmy, że

przy czym nierówność wynika ze znanej nierówności. Analogicznie

Ponieważ jest różnowartościowa, to dla każdego spełniona jest nierówność

Oznacza to, że liczby

są nieujemne. Niech oraz Stosując przekształcenie Abela, otrzymujemy równość

Prawa strona tej równości jest nieujemna, zatem lewa też. Stąd bezpośrednio wynika teza.

Z nierówności Schwarza otrzymujemy

Stąd i z warunku z zadania

otrzymujemy tezę.

Czytelnik doświadczony w dziedzinie rozwiązywania problemów olimpijskich z całą pewnością natychmiast skojarzy dany warunek ze wzorami Viète'a. Jest to istotnie dobry trop. Rozważmy bowiem wielomian którego pierwiastkami są liczby czyli

Z danych założeń i wspomnianych wzorów Viète'a wynika bezpośrednio, że Jeżeli więc to oczywiście Widzimy zatem, że żaden z pierwiastków nie może być liczbą ujemną, co kończy rozwiązanie.

Przyjmijmy oznaczenia:

Ponieważ oraz (nier. Cauchy'ego-Schwarza), zatem

Wystarczy rozważyć przypadek, gdy (więc ). Wówczas

Wobec tego

To znaczy, że postulowana nierówność podwójna zachodzi ze stałymi (dla oczywiście też).

Biorąc teraz np. uzyskujemy równość (z podaną stałą ); zaś zmieniając znak w i dostajemy równość (z podaną stałą ). Znalezione stałe są więc optymalne.

(a) Ponieważ iloczyn liczb dla wynosi to korzystając z nierówności między średnimi, dostajemy

Odejmując od obu stron nierówności sumę

dostajemy tezę.

(b) W punkcie (b) będziemy korzystać z następującego lematu: jeśli ciągi liczb rzeczywistych i spełniają

oraz

to wówczas

Załóżmy, że ciąg jest nierosnący:

Wówczas

i z lematu dostajemy

co dowodzi (2). Gdy ciąg jest niemalejący, postępujemy analogicznie.

Teraz (3) otrzymujemy łatwo przez dodanie nierówności (1) i (2) stronami.

Niech oznacza największą z liczb Popatrzmy na wyraz naszej sumy:

i oznaczmy większy ze składników z mianownika, lub przez Popatrzmy teraz na wyraz naszej sumy:

i oznaczmy większy ze składników z mianownika, lub przez Kontynuując to postępowanie, otrzymujemy ciąg indeksów

Ponieważ nierówność, którą chcemy udowodnić, jest cykliczna, możemy bez utraty ogólności przyjąć, że Z definicji mamy lub Zatem po pewnej liczbie kroków po raz pierwszy otrzymamy lub Ponadto bo w każdym kroku przesuwamy się o co najwyżej dwa. Zauważmy też, że

Stosując teraz nierówność między średnimi, otrzymujemy

Wymnażając wyrażenia w nawiasach i redukując wyrazy podobne, dostajemy równoważną nierówność

która jest prawdziwa wobec nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną.

Przykład dla

Rozważmy szachownicę o wierszach i kolumnach, której każde pole pomalowano na czarno z prawdopodobieństwem a z prawdopodobieństwem pozostawiono białe. Prawdopodobieństwo, że wybrany wiersz jest cały czarny jest wówczas równe (bo każde z pól musi być czarne), więc prawdopodobieństwo, że istnieje w nim białe pole wynosi

Niech oznacza zdarzenie: w każdym wierszu jest co najmniej jedno białe pole. Wierszy jest ; wobec powyższej obserwacji Analogicznie niech oznacza zdarzenie: w każdej kolumnie istnieje pole czarne, wówczas

Jeśli nie zachodzi zdarzenie czyli nie jest prawdą, że w każdym wierszu jest białe pole, to istnieje wiersz o wszystkich polach czarnych. Wtedy na pewno w każdej kolumnie jest czarne pole (choćby z tego właśnie wiersza), czyli zachodzi zdarzenie Wobec tego zawsze zachodzi co najmniej jedno spośród zdarzeń i stąd czyli

Udowodnimy indukcyjnie, że dla

Dla nasza nierówność przyjmuje postać Załóżmy, że nierówność jest prawdziwa dla gdzie Wówczas

co dowodzi prawdziwości nierówności dla W takim razie nierówność jest spełniona dla każdej liczby naturalnej

Niech dla Udowodnimy, że dla każdego Bezpośrednie wymnożenie wskazuje, że dla Zatem

Ponieważ dla więc W efekcie co jest równoważne nierówności Ponieważ więc z zależności i związku otrzymujemy dla oraz dla W myśl określenia funkcji powyższe nierówności można zapisać w postaci dla oraz dla Stąd zaś, po wymnożeniu stronami i skorzystaniu z warunku (1), uzyskujemy

Nasze założenie jest równoważne nierówności

Zauważmy, że wobec i nierówności Schwarza mamy

Mnożąc stronami powyższe nierówności dostajemy

co jest równoważne tezie.

Mamy Możemy bez utraty ogólności przyjąć więc, że (zmiana wartości parametrów na oraz przesuwa wykres w poziomie, co nie zmienia zbioru ). Mamy kilka przypadków.

1.

; wtedy

2.

; wtedy jest odcinkiem o długości

3.

; wtedy gdzie Łączna długość tych dwóch odcinków wynosi

Oznaczmy  gdzie  jest ciągiem indeksów (mamy  takich ciągów). Niech również  Wówczas  oraz  więc z nierówności Schwarza dostajemy

Można przyjąć, że Nierówność daną do udowodnienia przepisujemy w równoważnej postaci

Lewa strona nie zmieni się, gdy ją pomnożymy przez liczbę 1, zapisaną (zgodnie z założeniem) jako suma odwrotności liczb :

(*)

Wystarczy teraz wykazać, że ciągi i o wyrazach

są odwrotnie uporządkowane; nierówność Czebyszewa da wówczas dowodzoną tezę

Przyjęliśmy, że więc ciąg jest nierosnący; chcemy pokazać, że ciąg jest niemalejący. Funkcja maleje w przedziale oraz rośnie w przedziale Zatem fragment ciągu który leży w przedziale wyznacza niemalejący fragment ciągu o wyrazach Skoro jednak to w przedziale może leżeć co najwyżej jeden wyraz ciągu czyli liczba Pozostaje dowieść, że wówczas Z założenia więc skąd (po prostym przekształceniu) Stąd, ostatecznie,

To kończy dowód nierówności równoważnej z tezą zadania.

Udowodnimy indukcyjnie względem  że dla każdego  jest prawdziwa nierówność z tezy zadania. Dla   mamy

Zakładając prawdziwość tezy dla   udowodnimy ją dla   Ponieważ

dla   oraz

dla   otrzymujemy dla 

Dla  ten wzór jest również prawdziwy, jeśli przyjmiemy

Korzystając z założenia indukcyjnego, dostajemy

Ponieważ

oraz  otrzymujemy

Liczby      muszą być różne od zera. Przepisujemy pierwsze równanie jako  i dalej (cyklicznie)

(1)

Mnożymy stronami:

(2)

Gdyby któraś z różnic  była zerem, to wobec zależności (1) wszystkie byłyby zerami, czyli liczby      byłyby równe. To się jednak kłóci z nierównością, daną w założeniach. Różnice te są więc różne od zera. Równanie (2) po skróceniu daje wynik: ; jedynymi możliwymi wartościami iloczynu   są liczby  oraz   Każda z nich jest faktycznie osiągalna – na przykład dla  oraz