Delta mi!

Bez utraty ogólności możemy założyć, że  Wówczas

Zauważmy, że dla mamy

Zatem w szczególności

Zauważmy, że funkcja jest kawałkami liniowa i ograniczona z dołu przez W takim razie przyjmuje minimum w jednym z węzłów Nietrudno sprawdzić, że jest to

Niech  będzie średnią arytmetyczną liczb  Oznaczmy:

Suma liczb napisanych po lewych stronach wynosi 3. Zatem i suma liczb po prawych stronach wynosi 3; a to znaczy, że  Stąd

W nierówności danej do udowodnienia wyodrębniamy pierwszy składnik i szacujemy z góry jego mianownik:

Liczba  jest dodatnia (tu korzystamy z założenia, że ), zatem po prawej stronie ostatniej nierówności mamy również liczbę dodatnią, i wobec tego

Stąd

Mamy też analogiczne oszacowanie dla pozostałych dwóch składników zadanej nierówności. Po dodaniu stronami otrzymujemy (pamiętając, że  oraz ):

Zauważmy, że

gdzie w ostatniej nierówności skorzystaliśmy z tego, że ciągi  są malejące.

Z nierówności między średnimi i oszacowania mamy

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy  i co jest równoważne temu, że

Z nierówności między średnimi mamy

Zakładając, że  i   spełniają podane równanie, dostajemy  a stąd  co jest mniejsze niż  np. dla

Z nierówności trójkąta mamy

Pozbyliśmy się tym samym zmiennej  i wystarczy teraz udowodnić, że

W tym celu zamieniamy zmienne:  tzn.  Otrzymujemy wówczas

Przypuśćmy, że  ma co najmniej dwa różne dzielniki pierwsze  Napiszmy  gdzie  zaś czynnik  jest niepodzielny przez  ani  Iloczyn  ma  dzielników dodatnich; iloczyn  ma  dzielników dodatnich. Zatem

Jasne, że  Jeśli więc zachodzi postulowana nierówność  to

po przekształceniu: ; a to jest niemożliwe, skoro

Pozostają do rozważenia liczby  będące potęgami liczb pierwszych. Każda taka liczba spełnia wymagany warunek; jeśli bowiem  to

Niech  będzie najmniejszą liczbą o tej własności, że  dla każdej liczby rzeczywistej  Pokażemy, że wówczas  jest funkcją stałą, równą  w każdym punkcie. Załóżmy nie wprost, że dla pewnego  jest  Skoro

to z określenia liczby  znajdziemy liczbę  dla której

To jednak daje sprzeczność, bowiem

Wykres funkcji oraz stycznej do wykresu w punkcie

Daną nierówność możemy przepisać w postaci

Zauważmy, że równość zachodzi dla  Równanie stycznej do funkcji  w punkcie  ma postać

Zauważmy, że dla liczb  spełniających warunek  suma wartości wyrażenia  jest równa

Wystarczy więc, jeśli wykażemy, że dla  prawdziwa jest nierówność

co sugeruje wykres na rysunku. Po prostych przekształceniach otrzymujemy

a ta nierówność jest spełniona, ponieważ

Wykres funkcji i stycznej w 

Na pierwszy rzut oka ten przykład jest inny od poprzedniego – tym razem mamy sumę funkcji dwóch zmiennych. Ale to tylko pozorna trudność. Spróbujmy udowodnić nierówność

gdzie  i   są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Dzieląc obie strony przez  i podstawiając  otrzymujemy

Teraz już wiemy, co robić: w wyjściowej nierówności równość zachodzi dla  więc musimy tak dobrać współczynniki  i   aby równość zachodziła dla  Znajdując równanie stycznej do wykresu funkcji  w punkcie  otrzymujemy współczynniki  i 

Udowodnimy teraz, że dla dodatniej liczby rzeczywistej  zachodzi nierówność

Równoważnie możemy zapisać  a następnie doprowadzamy nierówność do postaci – teraz widać, że to prawda dla dowolnego

Zatem dla dowolnych liczb dodatnich  zachodzi nierówność

Szacując w ten sposób każdy ze składników lewej strony wyjściowej nierówności, dostajemy tezę.

Wykres funkcji i stycznej w 

Tym razem sytuacja jest jeszcze inna, ponieważ mamy sumę funkcji trzech zmiennych. Jednak i w tym przypadku łatwo można ją sprowadzić do sumy funkcji jednej zmiennej. Zauważmy, że dana nierówność jest jednorodna: liczniki i mianowniki ułamków są wielomianami złożonymi z jednomianów tego samego stopnia, a ponadto stopień licznika i mianownika jest taki sam. Stąd wynika, że możemy bez straty ogólności przyjąć (Jest to bardziej wygodne niż założenie  gdyż równość zachodzi dla ) Wówczas dana nierówność przyjmuje postać

Znajdując równanie stycznej do wykresu funkcji  w punkcie  otrzymujemy do udowodnienia nierówność

która jest równoważna  co jest prawdą dla

Dodając stronami otrzymane w ten sposób oszacowania wszystkich ułamków lewej strony danej nierówności, otrzymujemy tezę.

Jak nietrudno się przekonać, przy założeniu  nierówność zachodzi nie tylko dla liczb dodatnich, ale także dla nie mniejszych niż

Autor zadania, pan Witold Bednarek, przysłał je wraz z takim zmyślnym rozwiązaniem:
średnia arytmetyczna układu  liczb, mianowicie -krotnie powtórzonej liczby  oraz liczb  jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej, równej :

Do obu stron dodajemy  i po prostym przekształceniu otrzymujemy

Wystarczy teraz napisać analogiczne nierówności dla par  oraz  po czym dodać te trzy nierówności, by uzyskać tezę zadania.

Zauważmy, że dla  zachodzi

gdyż

Zatem

Równoważnie, mamy do udowodnienia

Przekształcamy lewą stronę:

Każdy składnik tej sumy jest dodatni, ponieważ   wtedy i tylko wtedy, gdy Wobec tego całe wyrażenie ma wartość dodatnią.

Uwaga:
Z zadania 590-M z ligi zadaniowej Delty 11(426) 2009 (rozwiązanie w numerze 3(430) 2010) wynika nierówność   Zatem wielkość   znajduje się między średnimi

Załóżmy, że taka funkcja  istnieje. Zauważmy, że

więc  dla dowolnych  co oznacza, że  jest malejąca. Warunek z treści zadania można zapisać tak:

Ustalmy  i weźmy taką liczbę całkowitą  aby  Wtedy dla  mamy

skąd, sumując stronami  nierówności, dostajemy

Zatem dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej  zachodzi nierówność

Biorąc  tak duże, aby było  otrzymujemy  co przeczy temu, że  przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.