Delta mi!

W trójkącie ostrokątnym wysokości i przecinają się w punkcie Proste i przecinają się w punkcie Prosta przechodząca przez środek boku i równoległa do dwusiecznej kąta przecina proste odpowiednio, w punktach Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach i są przystające.

Okrąg leży wewnątrz okręgu i współdzieli z nim środek. W kole ograniczonym przez znajduje się punkt Znaleźć taki punkt na okręgu by długość odcinka gdzie jest punktem przecięcia okręgu z odcinkiem była jak największa.

Wewnątrz wypukłego -kąta leży taki punkt że każdy z trójkątów jest równoramienny (przyjmujemy ). Czy stąd wynika, że wielokąt ma okrąg opisany, którego środkiem jest punkt

Czworokąt jest wpisany w okrąg. Punkty i są ortocentrami trójkątów odpowiednio i Udowodnić, że

Odcinki i są wysokościami trójkąta nieprostokątnego Punkty i są rzutami prostokątnymi punktów odpowiednio i na prostą Udowodnić, że

Na okręgu znajduje się punktów czarnych i białych. Rysujemy cięciw, z których każda ma jeden koniec biały a drugi czarny. Udowodnić, że można zrobić to tak, by każde dwie narysowane cięciwy przecinały się.

Okrąg o środku wpisany w trójkąt jest styczny do odcinków i w punktach odpowiednio i Punkt leży na prostej przy czym Dowieść, że prosta przechodzi przez środek odcinka

Dany jest trójkąt wpisany w okrąg Okrąg jest styczny do odcinków i oraz do okręgu w punkcie Okrąg zaś jest dopisany do trójkąta i styczny do boku w punkcie Wykazać, że

Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt zaś jest okręgiem opisanym na tym trójkącie. Okrąg styczny do odcinków jest styczny do okręgu w punkcie a jest środkiem tego łuku okręgu na którym leży punkt Wykazać, że punkty są współliniowe.

Okrąg o środku jest wpisany w trójkąt Okrąg styczny do okręgu opisanego na trójkącie jest styczny do odcinków i odpowiednio w punktach i Wykazać, że punkt leży na odcinku

Trójkąt różnoboczny jest wpisany w okrąg Punkty są środkami łuków niezawierających pozostałych wierzchołków trójkąta. Punkty są symetryczne do punktów odpowiednio względem boków Wykazać, że punkty oraz ortocentrum trójkąta leżą na jednym okręgu.

Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do boku w punkcie Okrąg jest styczny do półprostych i oraz jest styczny zewnętrznie w punkcie do okręgu opisanego na trójkącie Wykazać, że

Trapez o podstawach i jest wpisany w okrąg Okrąg jest styczny do odcinków i oraz jest styczny wewnętrznie do okręgu w punkcie Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do odcinka w punkcie Dowieść, że punkty leżą na jednej prostej.

Dany jest trójkąt ostrokątny w którym Punkty i są odpowiednio środkami boków i a punkt jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka Okrąg przechodzący przez punkty i jest styczny do okręgu opisanego na trójkącie w punkcie różnym od Udowodnić, że środek ciężkości trójkąta leży na prostej

Okrąg jest styczny do boków i trójkąta oraz do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie Okrąg jest styczny do półprostych i oraz jest styczny zewnętrznie do okręgu opisanego na trójkącie w punkcie Wykazać, że

Trójkąt jest wpisany w okrąg Prosta jest równoległa do prostej i przecina odcinki i odpowiednio w punktach i a okrąg w punktach i (gdzie leży między punktami i ). Okrąg jest styczny do odcinków i oraz do okręgu ; okrąg jest styczny do odcinków i oraz do okręgu Wyznaczyć miejsce geometryczne punktów przecięcia wspólnych stycznych wewnętrznych okręgów i przy zmieniającym się położeniu prostej

Okręgi i przecinają się w punktach i Środek okręgu leży na okręgu i jest końcem jego średnicy Cięciwa okręgu niebędąca średnicą, przecina okrąg oraz odcinek odpowiednio w punktach oraz Prosta przechodząca przez równoległa do przecina odcinek w punkcie Dowieść, że prosta przechodzi przez środek odcinka

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg. Przez środek każdego z odcinków poprowadzono proste prostopadłe do przeciwległych boków czworokąta Proste te ograniczają obszar będący czworokątem wypukłym. Wykazać, że w ten czworokąt również można wpisać okrąg.

Na czworokącie można opisać okrąg. Niech będzie punktem przecięcia przekątnych czworokąta. Załóżmy, że dwusieczna kąta przecina prostą w punkcie zaś prostą w punkcie ; niech ponadto dwusieczna kąta przecina prostą w punkcie zaś prostą w punkcie Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach mają punkt wspólny.

Odrobina klasyki:

(a)

W kąt o wierzchołku wpisano dwa okręgi: styczny do ramion kąta w punktach i oraz - w punktach i Wykazać, że okręgi te wyznaczają cięciwy jednakowej długości na ich wspólnej siecznej

(b)

Na każdej wspólnej stycznej dwóch rozłącznych zewnętrznie okręgów zaznaczono odcinek łączący punkty styczności. Dowieść, że środki wszystkich czterech zaznaczonych odcinków leżą na jednej prostej.

(c)

Okręgi i przecinają się w punktach i Z punktu leżącego na prostej poprowadzono styczną do w punkcie i do w punkcie Udowodnić, że trójkąt jest równoramienny.