Po pierwsze, jest to funkcja, która podzbiorom pewnej przestrzeni przyporządkowuje liczby nieujemne (np. miarą pewnego podzbioru przestrzeni powietrznej ograniczonej balonikiem jest 100 ). Po drugie, jakąkolwiek przestrzeń rozpatrujemy, jej pusty podzbiór ma miarę 0 (tak jak pusty skarbiec czy nienapompowany balonik). Po trzecie, jeśli połączę wiele rozłącznych podzbiorów w jeden, to miara tak powstałego podzbioru ma być sumą miar podzbiorów wyjściowych (tutaj "wiele" może również oznaczać "przeliczalnie wiele", szczegóły można znaleźć w artykułach Michała Korcha i Marty Szumańskiej w Delcie 4/2019).

Czy każdy podzbiór dowolnej przestrzeni możemy zmierzyć? Okazuje się, że mogą być z tym problemy. Dla przykładu, nie istnieje miara określona na wszystkich podzbiorach zbioru liczb rzeczywistych w taki sposób, że miara dowolnego odcinka jest dodatnia i skończona oraz przesuwając zbiór na prostej, nie zmieniamy jego miary (uzasadnienie na marginesie). Ważne jest zatem, aby definiując miarę, zaznaczyć, jaka jest jej dziedzina, czyli jakie zbiory są względem niej mierzalne.

Jak w takim razie możemy zdefiniować miarę - poza trywialnym przypadkiem miary liczącej, która podzbiorom zbioru przeliczalnego przyporządkowuje liczbę elementów? Z pomocą przychodzi nam pojęcie miary zewnętrznej. Jest to nieujemna funkcja określona na wszystkich podzbiorach danej przestrzeni, która spełnia warunki: (a) (b) jeśli to (c) miara zewnętrzna "połączenia" dowolnie wielu zbiorów (niekoniecznie rozłącznych) jest nie większa od sumy miar zewnętrznych tych zbiorów. Jeśli znajdziemy miarę zewnętrzną (warunki są łagodniejsze od tych, które definiują miarę!), to możemy zapytać o zbiory które są dobrymi "rozdzielnikami", to znaczy dla dowolnego podzbioru badanej przestrzeni zachodzi Mówimy wówczas, że zbiór spełnia warunek Carathéodory'ego względem Okazuje się, że jeśli ograniczymy do zbiorów spełniających warunek Carathéodory'ego względem niej, to otrzymamy miarę (jak już wspomnieliśmy, określenie dziedziny przy definiowaniu miary jest bardzo istotne!).

Coraz dokładniejsze pokrycia zbioru prostymi prostokątami dają coraz lepsze przybliżenie jego miary zewnętrznej

Uf, zrobiło się bardzo abstrakcyjnie - zobaczmy, jak to działa na przykładzie. Co to jest pole powierzchni, każdy widzi, ale mało kto potrafiłby je zdefiniować w sposób zadowalający matematyka (Czytelniku, jeśli nie wiesz jak, spróbuj przez chwilę uczynić to sam!). Zacznijmy od zdefiniowania pola prostokąta o bokach równoległych do osi ustalonego układu współrzędnych (taki prostokąt nazwiemy "prostym"). Dla prostego prostokąta określamy pole zgodnie z naszymi oczekiwaniami, czyli Dla dowolnie ustalonego podzbioru płaszczyzny rozważmy teraz wszystkie możliwe jego pokrycia przeliczalną liczbą prostych prostokątów, a dla każdego takiego pokrycia zsumujmy pola tych prostokątów. Kres dolny (czyli największe ograniczenie dolne) tych sum oznaczmy jako Można udowodnić, że jest miarą zewnętrzną na płaszczyźnie. Jeśli więc ograniczymy ją do zbiorów, które spełniają względem niej warunek Carathéodory'ego, dostaniemy miarę nazywaną dwuwymiarową miarą Lebesgue'a - i to jest dla matematyka porządnie zdefiniowane pole. Oczywiście, należałoby się jeszcze zastanowić, jakie właściwie zbiory są mierzalne względem miary Lebesgue'a (warunek Carathéodory'ego nie jest bowiem szczególnie wygodny). Jedna z charakteryzacji mówi, że są to zbiory będące złączeniem co najwyżej przeliczalnej liczby zbiorów domkniętych oraz zbioru, którego miara zewnętrzna wynosi 0. Brzmi bardzo skomplikowanie, ale oznacza między innymi, że możemy śmiało mierzyć pola wszystkich figur geometrycznych znanych ze szkoły średniej. I jak tu nie wierzyć w słowa Goethego: