O kul rozmnażaniu

Paradoks Banacha-Tarskiego (1924 r.). Kulę można rozłożyć na skończenie wiele części, z których da się zbudować dwie takie same kule.
Rozkład w używanym tu sensie to dowolny podział figury na rozłączne części (niekoniecznie ma ich być skończenie wiele). Dopuszczamy zatem części o dowolnie dziwnych kształtach, na przykład jednopunktowe lub niemierzalne. Jeśli figurę możemy rozłożyć w tym sensie na części, z których następnie można złożyć figurę
to mówimy, że
i
są równoważne przez rozkład i oznaczamy to
Nietrudno sprawdzić, że rzeczywiście jest to relacja równoważności. Okazuje się, że takie podziały nie muszą zachowywać miar figur i stąd właśnie biorą się pozorne paradoksy, a dokładniej mówiąc, fakty sprzeczne z naszą intuicją.
Zbiór jest paradoksalny , jeśli zawiera rozłączne podzbiory
takie, że
oraz
czyli, mówiąc obrazowo, jeśli z pewnych dwóch rozłącznych części zbioru możemy zbudować dwie jego pełnowartościowe kopie. Chodzi więc o takie rozkłady, które są sprzeczne z naszą intuicją dotyczącą pola lub objętości. W dalszej części tekstu rozważamy tylko rozkłady skończone.
Po wyjaśnieniu, na czym polega problem, kolej na wskazanie narzędzi - będą właściwie dwa: łatanie dziur i grupa wolna.

Łatanie dziur pokażemy na przykładzie dziury w okręgu. Rozłożymy okrąg bez punktu na dwie części, zastosujemy do nich odpowiednio dobrane obroty i w rezultacie uzyskamy cały okrąg. Niech
będzie brakującym punktem okręgu,
zaś niech będzie obrotem wokół środka o ustalony kąt niewspółmierny z
Wówczas ciąg
jest nieskończony i są to różne punkty. Niech to będzie pierwszy z naszych dwóch zbiorów, a pozostała część okręgu niech będzie drugim. Zauważmy, że obrót w przeciwną stronę o ten sam kąt, czyli
przeprowadza powyższy ciąg na ciąg
a więc pozwala załatać dziurkę. Pozostała część okręgu jest nieruchoma (to też obrót). Stąd
Grupa wolna o dwóch generatorach
i
to zbiór słów (czyli skończonych ciągów znaków) nad alfabetem
zredukowanych (czyli bez fragmentów postaci
), z elementem neutralnym
(słowo puste), bez relacji (dwa zredukowane słowa o różnym zapisie są różne) i z działaniem konkatenacji (dopisywania). Zauważmy, że ponieważ rozpatrujemy tylko słowa skończone, grupa
ma przeliczalnie wiele elementów. Rysuje się je często jako wierzchołki grafu (rysunek). Taki graf nie ma cykli, ponieważ w grupie wolnej nie ma relacji.
Niech oznacza zbiór słów zaczynających się literą
Zauważmy, że
jest rozłączną sumą

Jednocześnie

Grupa wolna jest zatem paradoksalna (dopisanie słowa na początku drugiego słowa to działanie grupy
na zbiorze swoich elementów).

wikipedia
Wizualizacja paradoksalnego rozkładu.
Wolną podgrupę możemy znaleźć w grupie
izometrii przestrzeni trójwymiarowej. Konkretnie, niech
będzie kątem dwuściennym czworościanu foremnego, czyli
Niech
oraz
będą obrotami
o kąt
w odpowiednio dobranym kierunku i odpowiednio wokół osi
oraz
Można sprawdzić, że takie
i
generują grupę wolną
Od grupy do zbioru. Umiemy wykazać, że jest paradoksalna i umiemy wskazać podgrupę
izomorficzną z
Docelowo chcielibyśmy jednak skonstruować nie grupę, lecz zbiór paradoksalny.
Okazuje się, że paradoksalność grupy daje się przenieść na zbiór, na którym ta grupa działa. Prześledźmy tę ogólną prawidłowość na przykładzie działania grupy na sferę
(o środku w początku układu współrzędnych) z wyłączonym zbiorem
tych punktów, w których osie obrotów, z jakich się składa
przebijają tę sferę.
Zbiór rozpada się na orbity przy działaniu
Wybierzmy (tu działa pewnik wyboru i bez niego ani rusz) zbiór
reprezentantów tych orbit i zastosujmy do niego grupę
Zauważmy, że tak otrzymane przeliczalnie wiele rozłącznych obrazów zbioru
daje w sumie całe
Odpowiednio je grupując i przemieszczając, uzyskujemy paradoksalny rozkład
Grupa wolna już swoją rolę odegrała, pora na łatanie dziur. Jak już zauważyliśmy, grupa jest przeliczalna, a każda oś obrotu przebija sferę w dwóch punktach, stąd zbiór
również jest przeliczalny. Stosując opisaną wyżej metodę łatania dziur, można wykazać, że
Dokończenie dowodu paradoksu Banacha-Tarskiego. Wiemy już, że dla odpowiednio dobranego zbioru zbiór
jest paradoksalny, oraz że
Ponieważ zbiór równoważny ze zbiorem paradoksalnym też jest paradoksalny, więc sfera jest paradoksalna.
Zauważmy, że kula bez środka to "cebulka" złożona ze sfer współśrodkowych. Skoro każda z nich jest paradoksalna, to kula bez środka również jest paradoksalna (bo punkty każdego promienia możemy skleić i przemieszczać wspólnie).
Weźmy teraz dowolny okrąg przechodzący przez środek kuli i całkowicie w niej zawarty. Wiemy, że
zatem umiemy załatać dziurkę, czyli kula bez środka jest równoważna całej kuli. A to kończy dowód, że kula jest paradoksalna.

***
***
O tym, że powyższą metodą nie można uzyskać analogicznych paradoksalnych rozkładów w ani w
łatwo się przekonać, sprawdzając, że
nie jest podgrupą grupy
izometrii prostej ani grupy
izometrii płaszczyzny. Przyjrzyjmy się dokładniej, dlaczego tak jest.
Izometrie prostej to przesunięcia i symetrie względem punktu. Wobec tego kwadrat każdej izometrii jest przesunięciem, przesunięcia zaś są przemienne. Stąd dla dowolnych dwóch izometrii zachodzi relacja
czyli w
nie ma podgrupy wolnej rzędu 2.
Na płaszczyźnie każda izometria jest złożeniem co najwyżej trzech symetrii osiowych (twierdzenie Chaslesa - jego dowód można znaleźć np. w Delcie 11/2015). Wynika z tego, że kwadraty elementów to izometrie parzyste, a więc przesunięcia lub obroty. Wobec tego dla dowolnych dwóch izometrii
złożenia
oraz
są przesunięciami (bo kąty ewentualnych obrotów się redukują). Przesunięcia są przemienne, zatem

co po uproszczeniu daje relację

czyli w także nie ma podgrupy wolnej rzędu 2.
Ale innej metody na znalezienie paradoksalnych rozkładów w i
nie ma, albowiem Stefan Banach udowodnił, że podane wyżej tożsamości pociągają za sobą istnienie miary uniwersalnej , czyli mierzącej wszystkie zbiory i będącej rozszerzeniem zwykłego mierzenia długości czy pola. Bo przecież zbiory paradoksalne nie mogą mieć miary w zwykłym sensie, o czym, jak sądzę, nikogo przekonywać nie trzeba.