Delta mi!

Wykażemy, że takie liczby nie istnieją. Przypuśćmy nie wprost, że trójka ma opisaną własność. Wówczas trójka również ją ma, więc możemy bez straty ogólności założyć, że jest liczbą parzystą.

Jeżeli są całkowitymi pierwiastkami trójmianu to liczby oraz są całkowite, co wobec parzystości oznacza, że liczby oraz również są parzyste.

Tymczasem jeżeli dla całkowitych to wyróżnik trójmianu równy

daje resztę przy dzieleniu przez co oznacza, że nie może być kwadratem liczby całkowitej. Uzyskana sprzeczność kończy dowód.

Gdy jest funkcją stałą, implikacja jest oczywista. Dalej przyjmijmy, że jest wielomianem stopnia dodatniego. Wielomian ma taki sam stopień, a przy tym przyjmuje - zgodnie z założeniem - wyłącznie wartości nieujemne. Jest to więc wielomian stopnia parzystego. Ten sam stopień ma zarówno wielomian jak i wielomian Każdy z tych wielomianów, jako funkcja ciągła zmiennej rzeczywistej, mająca granicę przy przyjmuje w pewnym punkcie osi liczbowej swoją wartość minimalną. Niech więc

W punkcie, realizującym minimum, pochodna jest równa zeru: Zauważmy, że, w myśl założenia zadania,

Podstawiając dostajemy Jest to wartość minimalna wielomianu zatem

Podstawiamy i mamy To wartość minimalna wielomianu Zatem dla

Rozważmy wielomian Wówczas liczba jest pierwiastkiem wielomianu Niech Wówczas po przemnożeniu obu stron równości przez otrzymujemy

Stąd liczba jest podzielna przez Ponieważ liczby i są względnie pierwsze, to wiemy, że dzieli liczbę

Z wzorów Viete'a wiemy, że oraz W takim razie mamy również

Przekształcając równanie z zadania otrzymujemy czyli Stąd otrzymujemy

Tak. Niech Wówczas Przypuśćmy, że dla pewnych liczb wymiernych Równanie ma wtedy dwa różne pierwiastki wymierne Stąd także równanie ma dwa różne pierwiastki wymierne Wobec tego z wzorów Viète'a czyli

Przykładami wielomianów, o jakich mowa, stopni oraz mogą być oraz Wykażemy, że nie istnieje wielomian o podanych własnościach, stopnia

Przypuśćmy, że jest takim wielomianem. Zestaw wszystkich pierwiastków wielomianu rozdzielamy na ciąg pierwiastków wielomianu oraz ciąg pierwiastków wielomianu Wówczas

(1)

Podstawiając mamy skąd wynika, że najmniejszy z czynników tego iloczynu jest liczbą ujemną: Wobec tego jest liczbą większą od wszystkich Widzimy ponadto, że liczby nie mogą być wszystkie równe, bo liczba nie jest iloczynem równych liczb całkowitych. Zatem

Podstawiając z kolei w równaniu (1) dostajemy Jest to iloczyn dodatnich liczb całkowitych; największa musi być dwójką, a pozostałe jedynkami - to znaczy,

(2)

Wracamy do równania (1) i podstawiamy ; otrzymujemy równość Zgodnie ze wzorami (2), przepisujemy ją w postaci

(3)

Skoro czynnik musi być równy Gdyby był równy znaczyłoby to, że wbrew wcześniejszemu spostrzeżeniu. Gdyby był równy w pierwszym nawiasie wzoru (3) mielibyśmy Równość (3) doprowadziła do sprzeczności.

Wielomiany o postulowanych własnościach istnieją więc tylko dla i (Nietrudno znaleźć ich ogólną postać - zostawiamy to jako ćwiczenie).

Czytelnik doświadczony w dziedzinie rozwiązywania problemów olimpijskich z całą pewnością natychmiast skojarzy dany warunek ze wzorami Viète'a. Jest to istotnie dobry trop. Rozważmy bowiem wielomian którego pierwiastkami są liczby czyli

Z danych założeń i wspomnianych wzorów Viète'a wynika bezpośrednio, że Jeżeli więc to oczywiście Widzimy zatem, że żaden z pierwiastków nie może być liczbą ujemną, co kończy rozwiązanie.

Oznaczmy sumę daną w zadaniu przez Udowodnimy najpierw, że liczba nie jest całkowita. Zauważmy w tym celu, że dla dowolnej liczby całkowitej zachodzą nierówności

Pierwsza z nich jest oczywista, zaś druga po podniesieniu do kwadratu redukuje się do

co jest prawdą, gdyż

W szczególności dla dowolnego prawdziwe są nierówności

Wynika stąd, że suma nie jest liczbą całkowitą, gdyż część ułamkowa każdego z jej składników jest mniejsza niż Dowodzi to naszego stwierdzenia.

Może się wydawać, że do osiągnięcia celu jest jeszcze daleko. Liczba, która nie jest całkowita, nie musi przecież od razu być niewymierna. W tym jednak momencie można zacząć podejrzewać, jaką rolę odegrają własności wielomianów. W następnym kroku udowodnimy bowiem, że istnieje wielomian unormowany o współczynnikach całkowitych, taki, że Stąd już natychmiast otrzymamy tezę zadania, gdyż z twierdzenia o pierwiastku wymiernym wynika, że każdy wymierny pierwiastek wielomianu jest również całkowity. W szczególności, skoro to tym samym

Za pomocą indukcji po wykażemy ogólniejsze stwierdzenie: dla dowolnych liczb całkowitych istnieje unormowany wielomian o współczynnikach całkowitych, dla którego

Gdy wystarczy przyjąć Załóżmy więc, że oraz istnieje wielomian unormowany o współczynnikach całkowitych, dla którego gdzie Przyjmijmy, że stopień wielomianu to i że zapisuje się w postaci W szczególności

Po rozwinięciu wszystkich potęg ze wzoru dwumianowego Newtona otrzymujemy równanie postaci

gdzie i są wielomianami o współczynnikach całkowitych stopnia mniejszego niż Przenosząc składnik na drugą stronę i podnosząc obie strony równości do kwadratu, dostajemy

W szczególności liczba jest pierwiastkiem unormowanego wielomianu

Kończy to zarówno dowód indukcyjny, jak i rozwiązanie zadania.

Zauważmy, że płaszczyzn o równaniach dla spełnia żądany warunek. Wykażemy, że jest minimalną liczbą o tej własności.

Załóżmy więc, że suma mnogościowa pewnych płaszczyzn danych równaniami

pokrywa zbiór ale nie zawiera punktu Rozważmy wielomian trzech zmiennych dany jako

Jest to wielomian łącznego stopnia który spełnia warunek dla oraz

Za pomocą wielomianu udało się nam przetłumaczyć kombinatoryczny warunek dotyczący płaszczyzn na język algebry. Dzięki temu możemy wykorzystać jej narzędzia, zapominając o kombinatorycznej naturze zadania.

Dla dowolnego wielomianu trzech zmiennych określmy operację zdefiniowaną jako

W analogiczny sposób definiujemy operację oraz

Za pomocą nietrudnego rachunku na współczynnikach sprawdzimy najpierw, że operacja zmniejsza łączny stopień wielomianu co najmniej o Załóżmy bowiem, że stopień pewnego wielomianu to przy czym w rozwinięciu pojawia się jednomian postaci Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona, uzyskujemy

Otrzymaliśmy więc sumę jednomianów o łącznym stopniu nieprzekraczającym Stosując to samo rozumowanie do każdego jednomianu postaci który pojawia się w rozwinięciu i spełnia widzimy, że operacja redukuje wszystkie jednomiany o łącznym stopniu Potwierdza to nasze stwierdzenie.

Zauważmy, że skoro wielomian zeruje się dla dowolnej trójki spełniającej oraz to zeruje się dla dowolnej trójki która spełnia oraz Jednocześnie, mamy

Powtarzając operację aż -krotnie, otrzymujemy wielomian który zeruje się dla dowolnej trójki postaci gdzie oraz nie zeruje się dla Używając więc operacji już ostatni raz dostajemy

Wielomian, który otrzymaliśmy z wielomianu po -krotnym zastosowaniu operacji nie zeruje się więc w punkcie ale zeruje się dla dowolnego punktu postaci gdzie i co najmniej jedna z liczb jest różna od zera.

Możemy zatem powtórzyć cały powyższy proces, tym razem względem zmiennej startując od wielomianu otrzymanego w ostatnim kroku. Wielomian zeruje się więc dla dowolnej trójki postaci gdzie ale nie dla trójki Ostatecznie już, rozumując w ten sam sposób względem zmiennej dochodzimy do wniosku, że wielomian nie zeruje się w punkcie

Nie jest to zatem wielomian zerowy. Wcześniej udowodniliśmy jednak, że dowolna z operacji redukuje łączny stopień wielomianu co najmniej o Stopień wielomianu nie przekracza zatem Stąd i rozwiązanie zadania jest zakończone.

Zadanie może wydawać się całkiem tajemnicze. W naturalny sposób nasuwają się dwa pytania: dlaczego akurat potęga liczby 2 i gdzie tu znaleźć wielomiany? Jako rozgrzewkę możemy zaproponować Czytelnikowi proste ćwiczenie: dla dowolnej potęgi liczby 2 skonstruować różne zestawy liczb o żądanej własności.

Odpowiedzmy zatem na drugie. Rozważmy bowiem wielomiany

Kluczowa obserwacja polega na połączeniu danego warunku z operacją brania kwadratu wielomianu. Zauważmy bowiem, że

Przypatrzmy się teraz wielomianowi Nie jest to wielomian zerowy oraz a więc liczba jest jego pierwiastkiem. Oznaczmy przez krotność owego pierwiastka, czyli dla pewnego wielomianu takiego, że Wówczas

Podstawiając w powyższej równości, dostajemy

skąd

Oznaczmy przez oraz lewą i prawą stronę postulowanego równania

Przyjmijmy, że nie są wielomianami zerowymi. Jasne, że muszą mieć jednakowy stopień oraz równe współczynniki wiodące:

gdzie i są wielomianami stopni co najwyżej Tak więc

i dalej

Stąd czyli czyli Podstawiając w wyjściowym równaniu oraz otrzymujemy zależności oraz skąd Ostatecznie więc ; przyjęliśmy, że - wszelako dla dostajemy parę wielomianów zerowych, które też są rozwiązaniem. Oczywiście każda para postaci - dowolna stała) spełnia zadane równanie.

Niech Mamy Następnie więc Ponadto, zatem również

Musimy przecież wiedzieć, jak wielomian wygląda, więc niech

Wówczas

Ze wzorów skróconego mnożenia wynika, że każdy składnik sumy jest podzielny przez zatem suma jest także podzielna przez

Z twierdzenia o dzieleniu wielomianów z resztą oraz z twierdzenia Bézout wynika, że mamy dla pewnego wielomianu (którego współczynniki także są całkowite). Stąd czyli gdzie jest liczbą całkowitą.

Niech będzie wielomianem przyjmującym zadane wartości. Podstawiamy je i widzimy, że a pozostałe współczynniki są związane układem równań:

Rozwiązujemy układ (dowolną poprawną metodą) i okazuje się, że wartości współczynników nie są całkowite. Tak więc taki wielomian o współczynnikach całkowitych nie istnieje.

Z warunków zadania wynika, że jeśli jest takim wielomianem, to

Obie strony drugiej równości są liczbami całkowitymi, jednak lewa strona jest podzielna przez 3, prawa nie. Sprzeczność.

666. Niech

Z założenia istnieje ciąg liczb całkowitych nieujemnych  taki, że

Ciąg  czyli  dąży do  gdy  Stąd

(1)

Różnica  jest wielomianem stopnia  z wyrazem wiodącym  Zatem

(2)

Z drugiej strony,

(3)

gdzie

Wobec związków (1), przy  mamy

(4)

Z zależności (3), (4), (2) wynika teraz, że przy

Różnica  przedstawia więc ciąg liczb całkowitych, który jest zbieżny – taki ciąg jest od pewnego miejsca stały. Oznaczając  mamy zatem

liczba  jest całkowita oraz dodatnia.

Dla liczb całkowitych  uzyskujemy równość

gdzie  jest liczbą całkowitą.

Wniosek:  jest wielomianem

pozostaje tylko zauważyć, że  skoro (z założenia) współczynniki  wielomianu  są nieujemne, zaś

Z założenia  dla każdego punktu  Z drugiej strony

gdzie  to suma jednomianów postaci  i   z pewnymi współczynnikami. Kluczem do rozwiązania zadania jest wysumowanie tej równości po wszystkich  punktach kostki dyskretnej. Ponieważ dla ustalonego  zachodzi

i podobnie dla ustalonych  mamy  więc również

Zatem

Załóżmy przeciwnie, że  to pierwiastki rzeczywiste naszego wielomianu. Wówczas

Porównując współczynniki przy  i   dostajemy

Stąd

więc  Zatem  co jest sprzeczne z założeniem.

Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje liczba całkowita  dla której  Korzystając z tego, że  dzieli  dla dowolnych liczb całkowitych  i  mamy

Liczba  jest pierwsza, więc skoro liczby  są parami różne, to bez straty ogólności możemy przyjąć, że

Ponieważ  więc po podzieleniu z resztą wielomianu  przez wielomian mamy

dla pewnego wielomianu  o współczynnikach całkowitych. Podstawiając  dostajemy

co przeczy temu, że  jest liczbą całkowitą.