Delta mi!

Załóżmy nie wprost, że wielomian  o współczynnikach całkowitych ma cykl  długości  Mamy  Kluczowa będzie dla nas obserwacja, że dla dowolnych liczb całkowitych  i  zachodzi

Mamy bowiem ciąg podzielności

Wynika stąd, że

dla  (przyjmujemy, że ). Znak „–” jest wykluczony, gdyż liczby  są parami różne. Mamy więc  Oznacza to, że ciąg  jest arytmetyczny. Musi on być stały, co daje sprzeczność.

Niech  ( ).

Gdy  wystarczy wziąć dowolną liczbę  będącą iloczynem  różnych liczb pierwszych. Są one oczywiście dzielnikami liczby  Dalej przyjmijmy, że

Najpierw wykażemy, że zbiór dzielników pierwszych wszystkich liczb  jest nieskończony. Przypuśćmy bowiem, że jest to zbiór skończony  Biorąc jako  dowolną liczbę postaci  (  całkowite), mamy

Liczba w nawiasie kwadratowym nie dzieli się przez żadną z liczb pierwszych  (a swoboda wyboru  pozwala przyjąć, że jest różna od ); ma więc jakiś inny dzielnik pierwszy, wbrew uczynionemu przypuszczeniu.

Stąd wniosek, że dla dowolnego  istnieją różne liczby pierwsze  oraz takie liczby całkowite  że

Znajdujemy liczbę  spełniającą układ kongruencji

taka liczba istnieje, w myśl chińskiego twierdzenia o resztach. Wówczas

liczba  ma więc co najmniej  różnych dzielników pierwszych.

Zauważmy, że dla możemy napisać

Wtedy

i ogólnie

To oznacza, że dla Ponieważ funkcja jest malejąca w przedziale więc pierwiastki otrzymane dla będą różne, a więcej pierwiastków  mieć nie może.