Zadanie 808 zaproponował pan Witold Bednarek z Łodzi.
Znaleźć wszystkie pary liczb wymiernych 
spełniających równanie 
Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej 
istnieją nieparzyste liczby 
spełniające równanie 
Udowodnić, że nie istnieją takie nieparzyste liczby 
że
 |
Znając wzory 
i 
wyprowadzić wzór na 
Zauważyć, że 
Wykazać, że dla naturalnych 
zachodzą następujące równości:
(a) Skorzystać z tożsamości (1) dla ciągu 
(b) Jak wyżej, dla 
Przyda się też równość 
Niech 
dla całkowitych dodatnich 
Udowodnić, że 
dla naturalnych 
Skorzystać z tożsamości (1 z artykułu) dla 
gdzie 
Wykazać, że dla każdego naturalnego 
zachodzi równość
 |
W tabeli dla 
zaznaczamy takie pola 
dla których 
Wówczas w 
-tej kolumnie mamy 
zaznaczonych pól, zaś w 
-tym wierszu jest ich 
Zadanie 796 zaproponował pan Witold Bednarek z Łodzi.
Dane są liczby całkowite 
przy czym 
jest liczbą parzystą. Udowodnić, że równanie
 |
ma rozwiązanie w liczbach całkowitych dodatnich 
wtedy i tylko wtedy, gdy 
dzieli się przez 
.
Udowodnić, że 
wtedy i tylko wtedy, gdy 
lub 
Liczby rzeczywiste 
spełniają równość 
Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości wyrażenia 
W równości (3) z artykułu przyjąć 
Są tu dwa przypadki do rozważania.
Liczby 
są rzeczywiste. Udowodnić, że jeśli
 |
to pewne dwie z liczb 
są równe.
Skorzystać z lematu dla liczb 
i 
Wyznaczyć wszystkie trójki liczb rzeczywistych 
które spełniają równości
 |
Zachodzi równość 
i dzięki tożsamości (1) z artykułu dochodzimy do wniosku, że wśród liczb 
występuje co najmniej jedna para liczb przeciwnych.
Liczby całkowite 
spełniają równość
 |
Dowieść, że 
Korzystając z (3) z artykułu, otrzymamy 
Wystarczy teraz wykazać, że co najmniej jedna z liczb 
jest parzysta. To wynika z równości danej w zadaniu.
Różne liczby rzeczywiste 
spełniają równość
 |
Dowieść, że 
Skorzystać z lematu z artykułu dla 
i 
Następnie zauważyć, że
Liczby całkowite 
spełniają równość
 |
Udowodnić, że 
Na mocy lematu z artykułu 
Wykazać kolejno, że 
i 
dla pewnych całkowitych 
i zauważyć, że 
Następnie to samo rozumowanie zastosować do 
i 
Ten proces można kontynuować w nieskończoność, co dowodzi, że każda potęga dwójki dzieli 
i 
czyli 
Znaleźć wszystkie funkcje 
spełniające równanie
 |
Liczby rzeczywiste 
i 
spełniają równości 
oraz 
Udowodnić, że 
i 
Liczby 
i 
są, na mocy wzorów Viete'a, pierwiastkami tego samego trójmianu kwadratowego, co liczby 
oraz 
Niech 
Znaleźć wszystkie rozwiązania równania 
Mamy 
więc 
Stąd 
lub 
Wyznaczyć wszystkie pary 
liczb rzeczywistych, dla których trójmian kwadratowy 
ma dwa różne pierwiastki i są nimi 
i 
Na mocy wzorów Viete'a otrzymujemy równania 
i 
Jedyną parą spełniającą warunki jest 
Liczba trzycyfrowa, w której 
jest cyfrą setek, 
- cyfrą dziesiątek, a 
- cyfrą jedności, jest pierwsza. Dowieść, że 
nie jest kwadratem liczby naturalnej.
Przypuśćmy, że 
dla pewnej liczby naturalnej 
Niech 
gdzie 
Korzystając z postaci iloczynowej, otrzymamy po przekształceniach
Liczba 
jest pierwsza, więc dzieli co najmniej jedną z liczb: 
lub 
Tu mamy sprzeczność, bo są to liczby dodatnie mniejsze od 
spełniają wymaganą w zadaniu równość. Załóżmy, że nieparzyste liczby 
spełniają 
Wówczas
są nieparzyste, to jedna z par 
oraz 
składa się z dwóch liczb nieparzystych, i tę parę wybieramy jako 
W ten indukcyjny sposób możemy skonstruować rozwiązanie wyjściowego równania dla dowolnej liczby naturalnej 
do obu stron daje
są nieparzyste, to lewa strona powyższej równości jest podzielna przez 4, w przeciwieństwie do prawej strony, co kończy rozwiązanie zadania.
spełniają podane równanie. Oznaczmy przez 
ich największy wspólny dzielnik; tak więc 
gdzie 
to liczby naturalne względnie pierwsze. Wstawiając to do równania i dzieląc stronami przez 
otrzymujemy
będzie dowolnym dzielnikiem pierwszym liczby 
Wobec związku (1) 
jest też dzielnikiem sumy 
To znaczy, że 
(mod 
); a skoro 
jest liczbą parzystą, mamy stąd 
(mod 
), i dalej
nie dzieli się przez 
(bo 
zaś 
są względnie pierwsze); zatem 
nie ma innych dzielników pierwszych, znaczy to, że
i 
(względnie pierwsze) są obie nieparzyste; stąd 
(mod 4), bo 
jest liczbą parzystą. W równości (2) mamy więc 
skąd 
Wracamy do równania (1): 
To pokazuje, że 
(dla pewnego 
); przy tym 
czyli 
: liczba 
dzieli się przez 
dla pewnego 
Wówczas para 
jest rozwiązaniem zadanego równania:
oraz 
; otrzymujemy równania
Zatem dla każdej liczby 
ma miejsce alternatywa: 
lub 
Stąd, w szczególności, 
jest jedynym miejscem zerowym funkcji 
to 
dla wszystkich 
Łatwo sprawdzić, że ta funkcja spełnia zadane równanie. Pozostaje przypadek, gdy 
ma jeszcze jakieś miejsce zerowe 
Wykażemy, że wówczas 
jest tożsamościowo równa zeru.
dla pewnego 
Biorąc w zadanym równaniu 
dostajemy 
; ta liczba nie jest zerem, więc z wcześniejszej alternatywy wynika, że wynosi ona jednocześnie 
oraz 
Przyrównanie tych wartości daje równość 
To liczba dodatnia; stąd 
w przedziale ![|(−∞ ,0].](/math/temat/matematyka/analiza/zadania/2019/10/31/zm-k44-789/9x-86016eea9da0a9d7e7b58d20a6007ab7e898b219-im-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
Weźmy teraz dowolną liczbę 
i w wyjściowym równaniu podstawmy 
(już wiemy, że 
). Wychodzi 
Tak więc 
także w przedziale 
(dla wszystkich 
) oraz 
(dla wszystkich 
).