Klub 44M - zadania XII 2020»Zadanie 811
Funkcja ma tę własność, że każda z funkcji
oraz
ma granicę 0 przy
Czy wynika stąd, że także funkcja
ma granicę 0 przy
Funkcja ma tę własność, że każda z funkcji
oraz
ma granicę 0 przy
Czy wynika stąd, że także funkcja
ma granicę 0 przy
Dane są liczby Funkcje
spełniają dla wszystkich
warunki
![]() |
przy czym jest różnowartościowym odwzorowaniem zbioru
na cały zbiór
; ma więc funkcję odwrotną
. Udowodnić, że funkcja
też jest różnowartościowym odwzorowaniem zbioru
na cały zbiór
Nieskończony ciąg liczb naturalnych jest określony wzorami
;
dla
Niech
Udowodnić, że dla każdego
liczba
dzieli się przez
Wykres funkcji
Niech będzie dane wzorem
Niech ponadto
oraz
będą dowolnymi niepustymi przedziałami (otwartymi lub domkniętymi jedno- lub obustronnie), których końce są liczbami niewymiernymi. Uzasadnić, że istnieje takie
że
gdzie
oznacza
-krotne złożenie funkcji
Uwaga: Zbiór pusty jest traktowany jako przedział, wobec tego założenie niepustego przedziału ma sens.
Niech będzie zbiorem skończonym. Udowodnić, że dowolna iniekcja
jest bijekcją.
Znajdź wszystkie funkcje spełniające dla wszystkich
nierówność
![]() |
Dla ustalonych liczb dodatnich określamy funkcję
wzorem
![]() |
Funkcja jest dana wzorem
![]() |
Wykazać, że ma ona asymptotę ukośną (przy ), i znaleźć równanie tej asymptoty.
Znaleźć wszystkie funkcje spełniające równanie
![]() |
Liczby rzeczywiste i
spełniają równości
oraz
Udowodnić, że
i
Niech będą ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Dla jakiego
wartość funkcji
jest najmniejsza?
Liczby rzeczywiste i
spełniają nierówność
przy czym
Wykazać, że
Niech Znaleźć wszystkie rozwiązania równania
Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych, dla których trójmian kwadratowy
ma dwa różne pierwiastki i są nimi
i
Wykorzystując funkcję kwadratową
udowodnić nierówność Cauchy'ego-Schwarza
Funkcja kwadratowa spełnia dla każdego
nierówność
Wyznaczyć największą możliwą wartość wyrażenia
Rozważmy trójmiany kwadratowe i
których współczynniki są rzeczywiste i spełniają warunek
Dowieść, że trójmiany i
mają obydwa pierwiastki rzeczywiste, a każdy z nich ma jeden pierwiastek leżący na osi liczbowej pomiędzy pierwiastkami drugiego.
Dana jest liczba rzeczywista Funkcja
spełnia dla każdej pary liczb rzeczywistych
równanie
Wykazać, że funkcja spełnia dla każdej pary liczb rzeczywistych
równanie
Funkcja spełnia dla każdego
równość
oraz dla
Wykazać, że
dla każdego
Wyznaczyć wszystkie funkcje różniczkowalne spełniające równanie
dla każdej pary różnych liczb rzeczywistych których różnica jest liczbą całkowitą.