Matematyka, zwłaszcza tzw. szkolna, wypracowała przez lata procedury rozwiązywania określonego typu zadań. Gdy rozpoznajemy problem jako równanie kwadratowe, w głowie pojawia się hasło "bekwadratminusczteryace" i już wszystko wiadomo, niezależnie od tego, jak w rzeczywistości nazwaliśmy współczynniki funkcji kwadratowej...
Czy nieskończoność jest tylko jedna? Nie, istnieją różne, większe i mniejsze!
Często pojawiające się w matematyce zadanie polega na skonstruowaniu funkcji
spełniającej pewne warunki. Między innymi możemy chcieć, aby
funkcja ta była różnowartościowa i „na”, co gdyby miało miejsce, oznaczałoby
równoliczność zbiorów
i
Punktem wyjścia bywa inna funkcja
która potrzebnych warunków nie spełnia, ale wystarczy ją tylko trochę
zmienić.
Kombinatoryka zajmuje się własnościami zbiorów skończonych, w szczególności zagadnieniem zliczania elementów takich zbiorów. Czy może zatem w kombinatoryce znaleźć się miejsce dla nieskończoności? Okazuje się, że tak – pokażę jedno z takich zastosowań nieskończoności: funkcje tworzące...
Zaczęło się od okręgu. Wykres funkcji sinus okazał się okręgiem. Jak to możliwe? Okazuje się, że czasem lekkie odstąpienie od utartego punktu widzenia może nas daleko zaprowadzić. Wystarczy, na przykład, wybrać inny niż prostokątny układ współrzędnych do przedstawiania wykresów funkcji.
Jednym z fundamentalnych pojęć analizy matematycznej jest bez wątpienia różniczkowalność. Dla funkcji jednej zmiennej, określonej na pewnym otwartym przedziale, równoważna jest ona istnieniu pochodnej funkcji w każdym punkcie tego przedziału. Jak wiadomo, wszystkie funkcje elementarne są różniczkowalne w tym klasycznym sensie, jednak wiele innych prostych i zarazem użytecznych funkcji już nie.
W Delcie 10/2009, w artykule Czy naprawdę prawie robi wielką różnicę, Paulina Małolepsza i Tomasz Małolepszy piszą o przykładach funkcji ciągłych, które są różniczkowalne prawie wszędzie, ale jednak nie są całkami swoich pochodnych.
Jak wiadomo, pochodna opisuje zmiany danej wielkości (np. tak działa prędkościomierz w samochodzie). Z kolei całka opisuje sytuację odwrotną – odtwarza daną wielkość z jej zmienności (tak np. działa licznik energii elektrycznej).
Joseph Louis Lagrange (1736--1813) był ogromnie zniesmaczony ciągle nieudanymi próbami ścisłego zdefiniowania koniecznego dla zastosowań matematyki pojęcia pochodnej funkcji. Rzecz udawała się właściwie tylko dla wielomianów.