Delta mi!

W trójkącie ostrokątnym wysokości i przecinają się w punkcie Proste i przecinają się w punkcie Prosta przechodząca przez środek boku i równoległa do dwusiecznej kąta przecina proste odpowiednio, w punktach Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach i są przystające.

Okrąg leży wewnątrz okręgu i współdzieli z nim środek. W kole ograniczonym przez znajduje się punkt Znaleźć taki punkt na okręgu by długość odcinka gdzie jest punktem przecięcia okręgu z odcinkiem była jak największa.

Udowodnić, że jeśli punkty tworzą układ ortocentryczny, to:

a)

okręgi dziewięciu punktów trójkątów pokrywają się (czyli można mówić o okręgu dziewięciu punktów danego układu ortocentrycznego);

b)

proste Eulera trójkątów mają punkt wspólny.

Przy oznaczeniach z rysunku udowodnić, że punkty są środkami sześciu łuków, które na okręgu wyznaczają punkty i

Przy oznaczeniach z rysunku w artykule wykazać, że

Trapez o podstawach i jest równoramienny. Prosta przechodzi przez środek okręgu opisanego na tym trapezie, jest równoległa do jego podstaw i leży pomiędzy nimi, dwa razy bliżej prostej niż prostej Punkt jest rzutem punktu na prostą Dowieść, że

W równoległoboku kąt jest ostry. Punkt spełnia warunek Prosta przecina odcinek w punkcie Udowodnić, że punkt oraz środki odcinków leżą na wspólnym okręgu.

Odcinki i są wysokościami trójkąta różnobocznego Niech oznacza punkt przecięcia prostych i analogicznie definiujemy punkty i Wykazać, że punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej Eulera trójkąta

Wewnątrz wypukłego -kąta leży taki punkt że każdy z trójkątów jest równoramienny (przyjmujemy ). Czy stąd wynika, że wielokąt ma okrąg opisany, którego środkiem jest punkt

Udowodnić, że jeśli punkty tworzą układ ortocentryczny, to:

(a)

punkt symetryczny do względem prostej leży na okręgu opisanym na trójkącie ;

(b)

okręgi opisane na trójkątach i mają równe promienie;

(c)

punkt symetryczny do względem środka odcinka leży na okręgu opisanym na trójkącie ;

(d)

;

(e)

punkt jest środkiem okręgu wpisanego lub dopisanego do trójkąta utworzonego przez spodki układu.

Udowodnić, że punkty tworzą układ ortocentryczny, jeśli:

(a)

czworokąty i są rombami (kolejność wierzchołków niekoniecznie podana antyzegarowo);

(b)

przez punkt przechodzą trzy okręgi o jednakowych promieniach, a punkty i są różnymi od punktami przecięć tych okręgów;

(c)

punkt jest środkiem okręgu wpisanego w pewien trójkąt, a punkty i - środkami okręgów dopisanych do niego.

Punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie Punkty i są symetryczne do punktu względem prostych odpowiednio i Dowieść, że punkt jest ortocentrum trójkąta

Czworokąt jest wpisany w okrąg. Punkty i są ortocentrami trójkątów odpowiednio i Udowodnić, że

Skonstruować za pomocą cyrkla i liniału ortocentrum danego trójkąta nieprostokątnego, wykonując tylko sześć ruchów elementarnych (ruch elementarny polega na wykreśleniu odcinka lub łuku).

Odcinki i są wysokościami trójkąta nieprostokątnego Punkty i są rzutami prostokątnymi punktów odpowiednio i na prostą Udowodnić, że

"Kwadrat w Trójkącie".
W trójkącie równobocznym zawarty jest kwadrat o największym możliwym polu. Jaką część pola trójkąta zajmuje ten kwadrat?

"Sześcian w Dwudziestościanie".
W dwudziestościanie foremnym zawarty jest sześcian o największej możliwej objętości. Jaką część objętości dwudziestościanu zajmuje ten sześcian?

"P w Q".
W danym wielokącie wypukłym zawarty jest wielokąt o największym możliwym polu, podobny do danego wielokąta wypukłego Jaką część pola zajmuje ten wielokąt?

Na okręgu znajduje się punktów czarnych i białych. Rysujemy cięciw, z których każda ma jeden koniec biały a drugi czarny. Udowodnić, że można zrobić to tak, by każde dwie narysowane cięciwy przecinały się.

Z płytek w kształcie trójkąta równobocznego o boku 1 ułożono trójkąt równoboczny o boku Każda płytka jest z jednej strony czerwona, a z drugiej niebieska. Ruch polega na wykonaniu następujących czynności: wybieramy płytkę mającą wspólne boki z co najmniej dwiema płytkami, których widoczne strony mają kolor inny niż widoczna strona płytki Następnie odwracamy płytkę na drugą stronę. Czy ta zabawa może trwać bez końca?