Delta mi!

Udowodnić, że jeśli punkty tworzą układ ortocentryczny, to:

a)

okręgi dziewięciu punktów trójkątów pokrywają się (czyli można mówić o okręgu dziewięciu punktów danego układu ortocentrycznego);

b)

proste Eulera trójkątów mają punkt wspólny.

Przy oznaczeniach z rysunku udowodnić, że punkty są środkami sześciu łuków, które na okręgu wyznaczają punkty i

Przy oznaczeniach z rysunku w artykule wykazać, że

Trapez o podstawach i jest równoramienny. Prosta przechodzi przez środek okręgu opisanego na tym trapezie, jest równoległa do jego podstaw i leży pomiędzy nimi, dwa razy bliżej prostej niż prostej Punkt jest rzutem punktu na prostą Dowieść, że

W równoległoboku kąt jest ostry. Punkt spełnia warunek Prosta przecina odcinek w punkcie Udowodnić, że punkt oraz środki odcinków leżą na wspólnym okręgu.

Odcinki i są wysokościami trójkąta różnobocznego Niech oznacza punkt przecięcia prostych i analogicznie definiujemy punkty i Wykazać, że punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej Eulera trójkąta

Wewnątrz wypukłego -kąta leży taki punkt że każdy z trójkątów jest równoramienny (przyjmujemy ). Czy stąd wynika, że wielokąt ma okrąg opisany, którego środkiem jest punkt

Udowodnić, że jeśli punkty tworzą układ ortocentryczny, to:

(a)

punkt symetryczny do względem prostej leży na okręgu opisanym na trójkącie ;

(b)

okręgi opisane na trójkątach i mają równe promienie;

(c)

punkt symetryczny do względem środka odcinka leży na okręgu opisanym na trójkącie ;

(d)

;

(e)

punkt jest środkiem okręgu wpisanego lub dopisanego do trójkąta utworzonego przez spodki układu.

Udowodnić, że punkty tworzą układ ortocentryczny, jeśli:

(a)

czworokąty i są rombami (kolejność wierzchołków niekoniecznie podana antyzegarowo);

(b)

przez punkt przechodzą trzy okręgi o jednakowych promieniach, a punkty i są różnymi od punktami przecięć tych okręgów;

(c)

punkt jest środkiem okręgu wpisanego w pewien trójkąt, a punkty i - środkami okręgów dopisanych do niego.

Punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie Punkty i są symetryczne do punktu względem prostych odpowiednio i Dowieść, że punkt jest ortocentrum trójkąta

Czworokąt jest wpisany w okrąg. Punkty i są ortocentrami trójkątów odpowiednio i Udowodnić, że

Skonstruować za pomocą cyrkla i liniału ortocentrum danego trójkąta nieprostokątnego, wykonując tylko sześć ruchów elementarnych (ruch elementarny polega na wykreśleniu odcinka lub łuku).

Odcinki i są wysokościami trójkąta nieprostokątnego Punkty i są rzutami prostokątnymi punktów odpowiednio i na prostą Udowodnić, że

"Kwadrat w Trójkącie".
W trójkącie równobocznym zawarty jest kwadrat o największym możliwym polu. Jaką część pola trójkąta zajmuje ten kwadrat?

"Sześcian w Dwudziestościanie".
W dwudziestościanie foremnym zawarty jest sześcian o największej możliwej objętości. Jaką część objętości dwudziestościanu zajmuje ten sześcian?

"P w Q".
W danym wielokącie wypukłym zawarty jest wielokąt o największym możliwym polu, podobny do danego wielokąta wypukłego Jaką część pola zajmuje ten wielokąt?

Z płytek w kształcie trójkąta równobocznego o boku 1 ułożono trójkąt równoboczny o boku Każda płytka jest z jednej strony czerwona, a z drugiej niebieska. Ruch polega na wykonaniu następujących czynności: wybieramy płytkę mającą wspólne boki z co najmniej dwiema płytkami, których widoczne strony mają kolor inny niż widoczna strona płytki Następnie odwracamy płytkę na drugą stronę. Czy ta zabawa może trwać bez końca?

Mamy dany wielokąt wklęsły. Ruch polega na wyborze przekątnej leżącej na zewnątrz tego wielokąta, przy czym cały wielokąt poza punktami i musi leżeć po jednej stronie prostej Następnie jedną z łamanych, na które punkty i dzielą brzeg wielokąta, odbijamy środkowosymetrycznie względem środka odcinka otrzymując nowy wielokąt. Dowieść, że po pewnej, skończonej liczbie takich operacji, otrzymamy wielokąt wypukły.

Na tablicy napisano trzy nieujemne liczby całkowite. Wybieramy z tej trójki dwie liczby i zastępujemy je liczbami i a trzecia liczba pozostaje bez zmiany. Z otrzymaną trójką postępujemy tak samo. Rozstrzygnąć, czy z każdej początkowej trójki liczb całkowitych nieujemnych można w ten sposób otrzymać trójkę, w której co najmniej dwie liczby są zerami.

Na płaszczyźnie leżą różne punkty i Punkty są środkami odpowiednio odcinków Dowieść, że odcinki i mają wspólny punkt.