O obrotach figur płaskich

W 1641 roku ukazały się Centrobaryca Paula Guldina, a w nich twierdzenie znane dziś jako reguły Guldina...

Oto ono

Twierdzenie. Jeśli figurę płaską $ℱ$ o polu $P$ i obwodzie $d$ będziemy obracali wokół osi niemającej punktów wspólnych z wnętrzem $ℱ$ i leżącej w tej samej co ona płaszczyźnie, to powstała bryła będzie miała objętość $|2πsP$ i pole powierzchni $2π ¯sd,$ gdzie $|s$ i $|¯s$ to, odpowiednio, odległość środka ciężkości pola i środka ciężkości brzegu $ℱ$ od osi.

Guldin uzasadnił je, sprawdzając, że z objętością tak jest, gdy obracamy prostokąt o boku równoległym do osi obrotu, a z polem powierzchni - gdy obracamy odcinek.

Z obracania prostokąta otrzymamy walec o promieniu $s b~2$ z wyciętym walcem o promieniu $s b~2,$

π d s¯1 ¯s2 2πd¯s1---¯s2 2π¯sd. 2 — Z obracania odcinka otrzymamy stożek ścięty (lub walec)

A potem stwierdził, że pole powierzchni można z dowolną dokładnością przybliżyć prostokącikami, a obwód odcineczkami i sprawdził, że środki ciężkości przy takim przybliżaniu zachowują się jak należy.

W niektórych książkach można znaleźć uogólnienie reguł Guldina, które przypisuje się żyjącemu 1300 lat wcześniej Pappusowi. W myśl tego uogólnienia można nie tylko mówić o obrotach, ale też o dowolnym ruchu. Wtedy we wzorach należy zastąpić $|2πs$ i $2π ¯s,$ odpowiednio, przez drogę środka ciężkości powierzchni i drogę środka ciężkości brzegu $ℱ.$

Faktycznie, np. dla przesunięcia w kierunku prostopadłym do płaszczyzny figury $|ℱ$ tak jest. I jeszcze w bardzo wielu przypadkach. Ale twierdzenia matematyki muszą być spełnione we wszystkich dopuszczonych przez założenia sytuacjach. A tu tak nie jest.

Czytelnik Ambitny znajdzie przykłady przeczące tak śmiałemu uogólnieniu, a nawet wskaże, jak należałoby wzmocnić założenia, by uogólnienie uratować. Mniej ambitny znajdzie odpowiedź w numerze.

A my wrócimy do oryginalnych reguł Guldina, by obliczyć objętość i pole powierzchni torusa. Torus to bryła powstała w wyniku obracania koła wokół prostej leżącej w jego płaszczyźnie i niemającej z tym kołem punktów wspólnych. Środek ciężkości powierzchni koła jest też środkiem ciężkości ograniczającego je okręgu - to środek koła (gdyby było inaczej, obracając koło, otrzymalibyśmy wiele środków ciężkości). Zatem (patrz rysunek) $s = s¯= R,$ pole obracanego koła to $2 |πr ,$ a długość ograniczającego je okręgu to $2πr.$ Mamy więc

Vtorusa = 2πR πr2 = 2π2Rr2, Storusa = 2π R2πr = 4π2Rr.

A na zakończenie zagadka: przyjrzyjmy się półkolu - czy bliżej odcinającej je średnicy leży środek ciężkości powierzchni półkola, czy też ograniczającego je półokręgu? Zapytajmy o to kolegów, a sami obliczmy.

Z obracania półkola względem odcinającej go średnicy otrzymujemy kulę - jej objętość to $|4πr3, 3$ a pole powierzchni to $4 πr2.$ Z reguł Guldina mamy więc

$pict$

A więc środek ciężkości półkola leży bliżej średnicy niż środek półokręgu. Czy koledzy zgadli?