Oś tego układu współrzędnych jest skierowana ku biegunowi północnemu, natomiast osie i są skierowane w ten sposób, że w chwili startu Greenwich leżało w płaszczyźnie W takim układzie współrzędnych pracują urządzenia nawigacyjne rakiety, włączane w chwili startu Współrzędne satelity w chwili wejścia na orbitę w tym układzie to m i prędkość m/s. Spróbujemy odpowiedzieć na pytanie, czy i w jakim kierunku satelita mógł być widziany o godzinie CSE tego dnia ze zlokalizowanego w Warszawie punktu o współrzędnych kartezjańskich w układzie rotującym z Ziemią, w którym Greenwich zawsze leży w płaszczyźnie

Od razu zastrzegę, że by uprościć wywody, zaniedbamy wpływ spłaszczenia Ziemi i oporu resztek atmosfery na ruch satelity i skorzystamy z równań opisujących ruch satelity po elipsie keplerowskiej wokół obiektu o sferycznie symetrycznym rozkładzie masy (który może być równoważnie zastąpiony masą punktową). Główna konsekwencja zaniedbanych efektów to powolna (około stopień na dzień) precesja orbity, o niewielkim wpływie na szukaną odpowiedź.

Z określenia układów wynika, że w momencie w układzie rakiety Warszawa miała położenie ale potem w czasie obróciła się wraz z Ziemią o kąt Licząc kąt obrotu, zamieniliśmy jednostki czasu na radiany i uwzględniliśmy, że dni liczymy względem obracającego się kierunku Ziemia-Słońce, czyli w ciągu roku Ziemia wykonuje o jeden obrót więcej niż liczba dni. Przy tym obrocie współrzędna pozostaje bez zmiany, a współrzędne przekształcają się w następujący sposób:

Znaleźliśmy zatem przedstawienia wszystkich wektorów w nierotującym układzie GI. Astronomowie zwykle używają nierotującego układu, w którym punkt Barana czyli przecięcie ekliptyki z równikiem, wyznacza oś ale to temat na inną okazję.

Elementy keplerowskie orbity

W artykule o prawach Keplera (Delta 5/2011) pokazaliśmy, jak z nich wyprowadzić drugie prawo dynamiki Newtona. Przy okazji zdobyliśmy wiedzę, która pozwoli nam opisać orbitę satelity.

Choć na razie nie znamy położenia orbity, to zaczniemy przekształcenia w układzie ze środkiem w centrum Ziemi, w którym oś wskazuje perigeum, a oś też leży w płaszczyźnie orbity. Obliczymy analitycznie rozmaite iloczyny wektorów by na podstawie wyników zrozumieć ich związek z elementami orbity. Na końcu wrócimy do znanego nam układu GI i wykonamy te same obliczenia liczbowo, i korzystając z tego, że te iloczyny mają to samo znaczenie w każdym układzie, znajdziemy wartości elementów orbity. Jak to wyprowadziliśmy poprzednio, chwilowe położenie i prędkość na orbicie można wyrazić poprzez kąt zwany anomalią mimośrodową :

Aktualną wartość w chwili znajdujemy jako rozwiązanie równania Keplera:

(3)

gdzie jest czasem przejścia przez perigeum, a

zwane ruchem średnim w istocie jest uśrednioną prędkością kątową satelity, natomiast i oznaczają odpowiednio półoś wielką orbity (połowę odległości między perigeum i apogeum) oraz mimośród (spłaszczenie) orbity. Dla skrócenia zapisu wprowadziliśmy zamiast iloczynu stałej grawitacji i masy Ziemi.

Chociaż obliczenia prowadzimy w układzie płaszczyzny orbity, to będziemy korzystać wyłącznie z iloczynów wektorów, aby wynik przedstawić w postaci niezależnej od wyboru układu współrzędnych. Kwadraty długości wektorów mamy z twierdzenia Pitagorasa lub z iloczynu skalarnego wektora przez siebie, co na jedno wychodzi:

gdzie ostatnia równość wynika z podstawienia (4) do (5). Z ostatniego wzoru wynika, że energia całkowita jest stała, jak należało oczekiwać, oraz:

Mając półoś orbity, spłaszczenie orbity znajdziemy z pomocą iloczynu skalarnego (1) przez (2):

(6)

Korzystając z (4) oraz (6), mamy

Tak znalezione i po podstawieniu do (3) dają oraz czas Ćwiartkę, do której należy kąt (i podobnie dla innych kątów), określamy na podstawie znaków funkcji i natomiast wartość samego kąta wyznaczymy za pomocą funkcji

Gdy i są znane, to pozostaje wyznaczyć trzy elementy określające orientację orbity w przestrzeni. Dwa z nich to kąty oraz wskazujące kierunek wektora momentu pędu w układzie współrzędnych, w którym oś pokrywa się z osią obrotu Ziemi. Moment pędu jest proporcjonalny do iloczynu wektorowego i który w układzie współrzędnych o osiach leżących w płaszczyźnie orbity ma postać:

Zasada zachowania pędu zapewnia, że w nieobracającym się układzie jest stałe. Znajdziemy teraz współrzędne wektora w układzie współrzędnych, którego oś pokrywa się z osią obrotu Ziemi. W tym układzie współrzędnych, składowa tego wektora w płaszczyźnie to Nachylenie wektora do osi oraz nachylenie wektora do osi wynikają ze stosunku ich składowych:

Sam kąt to kąt w płaszczyźnie między osią a prostopadłym do wektorem

wskazującym linię węzłów, tj. linię przecięcia orbity z płaszczyzną

Powróćmy do układu płaszczyzny orbity. Zanim wyznaczymy położenie perigeum, znajdźmy pomocniczy wektor, mnożąc wektorowo (2) oraz (7):

Następnie odejmując (1) podzielone przez (4), otrzymujemy

Tak zdefiniowany wektor mimośrodowy ma długość i wskazuje kierunek perigeum. Wektory i całkowicie określają orientację orbity. Prostopadły do wektor

też leży w płaszczyźnie orbity. Zatem iloczyny skalarne i są proporcjonalne do sinusa i kosinusa kąta jaki kierunek perihelium tworzy z linią węzłów, skąd:

gdzie minus uwzględnia, że kąt względem t.j. a nie względem Kąty nachylenie argument perigeum i długość linii węzłów w pełni określają położenie orbity. Ponieważ wszystkie elementy określiliśmy za pomocą iloczynów wektorów, to wzory pozostają słuszne po dowolnym obrocie orbity, zmienią się tylko składowe wektorów, ale nie ich długości i kąty między nimi. Zatem do powyższych iloczynów wektorowych można teraz podstawić znane wektory w układzie GI, by otrzymać elementy orbity i wektory pomocnicze w tym właśnie układzie.

Widoczność w Warszawie

Teraz możemy opisać sposób znalezienia odpowiedzi na pytanie postawione na samym początku. Dla nowego momentu czasu należy obliczyć następnie rozwiązać (3) na i znaleźć w płaszczyźnie orbity z (1). Wtedy w układzie GI położenie będzie równe gdzie wektory i określają kierunki dużej i małej osi orbity. Dalej, oznaczając położenie Warszawy przez możemy wyrazić wektor wodzący z Warszawy do satelity jako a kosinus kąta między zenitem a satelitą, pomijając spłaszczenie Ziemi, wynosi:

Dokończenie rachunków i znalezienie ostatecznej odpowiedzi na postawione na początku artykułu pytanie pozostawiamy Czytelnikowi.

Zainteresowani Czytelnicy mogą także wykonać obliczenia dla swojego położenia i w dowolnej chwili, korzystając z danych TLE BRITE-PL Lem publikowanych przez NORAD. Są one podane w nierotującym układzie względem punktu w płaszczyźnie (rektascencja i deklinacja). Pozycję określa się na podstawie zliczenia dni juliańskich (JD) dla danej daty i obrotu Ziemi względem tj. czasu gwiazdowego w Greenwich. Przy tym na podstawie czasu, jaki upłynął od epoki TLE, warto uwzględnić precesję biorąc pod uwagę jej szybkość podaną w TLE jako