Rys. 1 Wzniesienie na powierzchni Księżyca i rzucany przez nie cień. Płaszczyznę rysunku wyznaczają środki Słońca i Księżyca oraz położenie ziemskiego obserwatora. Wzniesienia W, leżące na okręgu, którego płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny terminatora (linia przerywana), są oświetlane przez Słońce pod tym samym kątem

Rys. 2 Obserwowana kątowa długość odcinka  oraz długość cienia  zależą od kąta  (czyli od fazy Księżyca). Okrąg narysowany linią przerywaną jest śladem przecięcia z globem Księżyca płaszczyzny równoległej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez wzniesienie. Ślad ten dla ziemskiego obserwatora będzie odcinkiem prostopadłym do prostej łączącej punkty kontaktu terminatora z brzegiem tarczy Księżyca.

Zadanie postawione w tytule jest bardzo łatwe do rozwiązania w przypadku, gdy widzimy dokładnie połowę tarczy Księżyca (Rys. 1). Załóżmy, że wzniesienie W leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez środki Słońca i Księżyca oraz położenie ziemskiego obserwatora. Z trójkąta, w którym jedną z przyprostokątnych jest wysokość wzgórza  (patrz: powiększony szczegół po prawej stronie rysunku 1), wynika, że

(1)

gdzie  oznacza odległość Ziemia–Księżyc,  – obserwowaną kątową długość cienia wzniesienia, zaś  – kątową wysokość Słońca ponad horyzontem w miejscu, w którym położone jest wzniesienie. Symbole opatrzone „ ” dotyczą chwili, gdy patrzymy na Księżyc prostopadle do kierunku Księżyc–Słońce (gdy Księżyc jest w pierwszej lub ostatniej kwadrze). Gdy  oznacza odległość Ziemia–Księżyc,  – promień Księżyca (w dalszych rozważaniach jego wartość przyjmiemy za daną) i   – kątowy promień jego tarczy, mamy  Wobec tego zależność (1) można zapisać w postaci:

W omawianym przypadku wysokość Słońca ponad horyzontem  w miejscu, w którym znajduje się wzniesienie, jest łatwa do wyznaczenia. Jest ona równa kątowi między płaszczyzną terminatora a prostą łączącą środek Księżyca i wzniesienie. Skoro tak, to

gdzie  jest kątową odległością wzniesienia W od płaszczyzny terminatora, czyli

(2)

W przedstawionej sytuacji wyznaczenie wysokości wzniesienia wymagało będzie zmierzenia kątowej średnicy tarczy Księżyca  kątowej długości cienia wzniesienia  oraz kątowej odległości tego wzniesienia od płaszczyzny terminatora

Otrzymane rozwiązanie dotyczy bardzo szczególnej chwili, gdy oświetlona jest dokładnie połowa tarczy Księżyca, oraz szczególnej lokalizacji wzniesienia. Wystarczy jednak chwila zastanowienia, by usunąć drugie z wymienionych ograniczeń. Zauważmy bowiem, że płaszczyzna horyzontu jest w każdym miejscu styczna do globu, czyli jest prostopadła do kierunku ku centrum globu (patrz Rys. 1). Skoro tak, to wysokość  Słońca ponad horyzontem w dowolnym miejscu globu jest równa kątowi między kierunkiem ku centrum globu i płaszczyzną terminatora. Oznacza to, że ma ona jednakową wartość we wszystkich miejscach globu, które są równoodlegle od płaszczyzny terminatora. Punkty o jednakowej wartości  tworzą na powierzchni Księżyca okręgi równoległe do płaszczyzny terminatora, których środki są położone na prostej łączącej środki Księżyca i Słońca. Największym z tych okręgów jest terminator, dla którego  Kątowa wysokość Słońca wzrasta ze wzrostem odległości od terminatora. W punkcie  Słońce jest w zenicie. Zależność (2) można zatem stosować do wyznaczania wysokości wzniesienia położonego w dowolnym miejscu tarczy, lecz tylko wtedy, gdy Księżyc jest bliski pierwszej lub ostatniej kwadry. Rozwiązanie (2) pozostaje jednak mało użyteczne ze względu na pierwsze z wymienionych ograniczeń. Okresy, w których Księżyc położony jest blisko prostokątnego narożnika trójkąta, są krótkie i mogą pokrywać się z okresami niepogody. Nietrudno jest jednak otrzymać rozwiązanie ogólniejsze. Jeśli licznik i mianownik zależności (2) pomnożymy przez  dostaniemy

Iloczyny  są odcinkami równoległymi do kierunku Księżyc–Słońce. Gdy widzimy połowę tarczy Księżyca, to na odcinki te patrzymy prostopadle. Przy innej fazie patrzymy na nie pod pewnym kątem  (wartości  odpowiada pierwsza kwadra,  – pełnia,  – ostatnia kwadra,  – nów). Rysunek 2 przedstawia sytuację, gdy Księżyc jest w fazie między pierwszą kwadrą i pełnią. Wynika z niego następująca zależność między długością odcinków  i   oraz  i  :

Zależności te pozwalają uogólnić wzór (2) dla dowolnej fazy Księżyca:

(3)

Widać, że zależność wysokości wzgórza  od kąta  jest słaba dla niewielkich jego wartości. Przyjmijmy np., że  co odpowiada odstępowi około 1 doby od pierwszej lub ostatniej kwadry. Kształt jasnej części Księżyca, odpowiadający tym chwilom, jest pokazany na rysunku 3 Użycie zależności (2) zamiast (3) jest wtedy źródłem błędu względnego rzędu  Tymczasem rozmycie granicy cienia i linii terminatora skutkuje dużymi błędami pomiaru kątów  i   czego finalnym skutkiem jest względny błąd wartości  nie mniejszy niż  Wynika stąd, że do wyznaczania wysokości wzniesień w chwilach bliskich momentowi, gdy widoczna jest połowa tarczy Księżyca, można wykorzystywać zależność (2).

Rys. 3

Rys. 4 Kąt  można wyznaczyć, mierząc kąty  i  bądź  i

Jeśli kształt jasnej części Księżyca będzie wyraźnie różnił się od połowy okręgu, to na podstawie rysunku 4 możemy sformułować zależność umożliwiającą wyznaczenie wartości kąta  i uwzględnienie jej w zależności (3)

Tak więc dla dowolnej fazy Księżyca (dowolnej wartości kąta ) zależność (3) wygląda następująco:

Ponieważ w praktyce znacznie łatwiej można zmierzyć kąt  niż  zależność powyższą – pamiętając, że  – możemy zapisać jako funkcję kąta :

(4)

Krótkiego komentarza wymaga jeszcze problem pomiaru kąta  Jak wynika z rysunku 2, jest to kąt, pod jakim widoczny jest odcinek  gdzie  jest rzutem punktu  na płaszczyznę terminatora (punkt  jest położony pod powierzchnią Księżyca). Dokładny pomiar tego kąta nie jest więc możliwy poza szczególnym przypadkiem, gdy widoczna jest dokładnie połowa tarczy Księżyca. Wtedy bowiem punkt  będzie położony dokładnie na linii terminatora, tzn.  Jeżeli obserwacji dokonano w chwili bliskiej momentowi wystąpienia pierwszej lub ostatniej kwadry, to punkt  będzie znajdował się bardzo blisko terminatora, w odległości niewiele większej niż nieostrość jego granicy. Możemy wtedy przyjąć, że  Zauważmy jednak, że również dla dowolnej fazy Księżyca problem określenia wartości  rozwiązuje się sam. Cienie wzgórz dostatecznie długie, by można było mierzyć je w miarę dokładnie, są widoczne tylko blisko terminatora, a wtedy punkt  również będzie bardzo blisko linii terminatora. Skoro tak, to niezależnie od fazy Księżyca możemy przyjmować, że

Przyglądając się zależności (4), będącej rozwiązaniem postawionego zadania, warto zauważyć, że wielkości kątowe występują w niej wyłącznie w postaci ilorazów.

Rys. 5 Kąty, które należy zmierzyć, aby wyznaczyć wysokość wzniesienia. Linia przerywana łączy punkty jednakowo odległe od płaszczyzny wyznaczonej przez położenie obserwatora, środka Księżyca i środka Słońca.

Dzięki temu do wyznaczenia wysokości wzniesienia nie jest potrzebna znajomość kątowej skali obrazu Księżyca obserwowanego w lunecie bądź kątowej skali fotografii Księżyca. Otrzymane zależności są, oczywiście, prawdziwe dla dowolnego kulistego obiektu oświetlonego odległym, niemal punktowym źródłem światła.

* * *

Jeśli  uznamy za wielkość znaną, to do wyznaczenia wysokości wzniesienia konieczne będzie zmierzenie czterech kątów:  (Rys. 5). Można je zmierzyć w trakcie bezpośredniej obserwacji wizualnej lub wykorzystując do pomiarów zdjęcie Księżyca.

Zrobienie zdjęcia Księżyca, umożliwiającego wykonanie niezbędnych pomiarów z rozsądną dokładnością, wymaga użycia obiektywu o ogniskowej zbliżonej do 1 m. Rolę takiego obiektywu spełnia zazwyczaj obiektyw lunety lub zwierciadło teleskopu. Decydujący wpływ na dokładność pomiaru ma wielkość i ostrość obrazu Księżyca. Ze względu na drgania układu fotografującego powodowane powiewami wiatru i turbulencją atmosferyczną czas naświetlania nie powinien przekraczać 1/30 sekundy. Ponieważ jedną z mierzonych wielkości jest promień tarczy Księżyca, a wielkość tę można wyznaczyć najdokładniej, mierząc średnicę tarczy, zdjęcie powinno obejmować całą oświetloną część tarczy.

Bezpośredni (wizualny) pomiar kątów  będzie wymagał użycia lunety lub teleskopu umożliwiającego osiągnięcie ponad stokrotnego powiększenia. Typując wzniesienia przewidziane do pomiaru, należy wybierać takie, których otoczenie wydaje się w miarę płaskie i poziome. Jedyną wskazówką, umożliwiającą ocenę stopnia spełnienia tego warunku, jest światłocieniowy obraz otoczenia. Jeśli zależy nam na zmierzeniu wysokości konkretnego wzniesienia, należy poczekać na wieczór, w którym znajdzie się ono w pobliżu terminatora.