Delta mi!

Dla każdej liczby uzyskujemy z podanego równania (po podstawieniu ) równość

(1)

Wynika z niej, że funkcja jest różniczkowalna. Możemy więc zróżniczkować (1) stronami, otrzymując

(2)

W równości (1) zastępujemy przez oraz :

równość (2) (pomnożona przez 2) przybiera postać

(3)

Widać stąd, że i funkcja ma pochodną. Różniczkujemy (3) stronami:

(4)

W równaniu danym w założeniach podstawiamy następnie i wreszcie otrzymując kolejno

Równość (4) (pomnożona przez 4) daje w efekcie

Uzyskana równość zachodzi dla wszystkich To znaczy, że jest wielomianem stopnia najwyżej drugiego.

I na odwrót, każdy taki wielomian spełnia równanie dane w założeniu zadania (i to nawet dla każdej pary różnych liczb ) - co łatwo sprawdzić.

Gdy jest funkcją stałą, implikacja jest oczywista. Dalej przyjmijmy, że jest wielomianem stopnia dodatniego. Wielomian ma taki sam stopień, a przy tym przyjmuje - zgodnie z założeniem - wyłącznie wartości nieujemne. Jest to więc wielomian stopnia parzystego. Ten sam stopień ma zarówno wielomian jak i wielomian Każdy z tych wielomianów, jako funkcja ciągła zmiennej rzeczywistej, mająca granicę przy przyjmuje w pewnym punkcie osi liczbowej swoją wartość minimalną. Niech więc

W punkcie, realizującym minimum, pochodna jest równa zeru: Zauważmy, że, w myśl założenia zadania,

Podstawiając dostajemy Jest to wartość minimalna wielomianu zatem

Podstawiamy i mamy To wartość minimalna wielomianu Zatem dla

Spróbujmy poszukać rozwiązania wśród funkcji postaci (motywacja: zarówno pochodna, jak i funkcja odwrotna do takiej funkcji, też ma taką postać - próba ma szansę powodzenia). Gdy stałe są dodatnie, funkcja jest ściśle rosnąca i przekształca przedział na ten sam przedział. Dla ustalonej wartości rozwiązujemy równanie (z niewiadomą ), otrzymując Tak więc

Aby funkcje i były identyczne, wystarczy, by parametry dodatnie spełniały równania

Drugie równanie ma w liczbach dodatnich jedyne rozwiązanie Dla tej stałej pierwsze równanie przybiera formę z rozwiązaniem Funkcja z tymi parametrami ma wymaganą własność.

[Dla dociekliwych - pytanie: czy to jedyna taka funkcja? Jeśli nie - jak znaleźć wszystkie?]

Niech

Stąd

czyli warunek równoważny jest warunkowi To zaś jest niemożliwe na mocy Wielkie Twierdzenie Fermata.

Wykres funkcji oraz stycznej do wykresu w punkcie

Daną nierówność możemy przepisać w postaci

Zauważmy, że równość zachodzi dla  Równanie stycznej do funkcji  w punkcie  ma postać

Zauważmy, że dla liczb  spełniających warunek  suma wartości wyrażenia  jest równa

Wystarczy więc, jeśli wykażemy, że dla  prawdziwa jest nierówność

co sugeruje wykres na rysunku. Po prostych przekształceniach otrzymujemy

a ta nierówność jest spełniona, ponieważ

Wykres funkcji i stycznej w 

Na pierwszy rzut oka ten przykład jest inny od poprzedniego – tym razem mamy sumę funkcji dwóch zmiennych. Ale to tylko pozorna trudność. Spróbujmy udowodnić nierówność

gdzie  i   są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Dzieląc obie strony przez  i podstawiając  otrzymujemy

Teraz już wiemy, co robić: w wyjściowej nierówności równość zachodzi dla  więc musimy tak dobrać współczynniki  i   aby równość zachodziła dla  Znajdując równanie stycznej do wykresu funkcji  w punkcie  otrzymujemy współczynniki  i 

Udowodnimy teraz, że dla dodatniej liczby rzeczywistej  zachodzi nierówność

Równoważnie możemy zapisać  a następnie doprowadzamy nierówność do postaci – teraz widać, że to prawda dla dowolnego

Zatem dla dowolnych liczb dodatnich  zachodzi nierówność

Szacując w ten sposób każdy ze składników lewej strony wyjściowej nierówności, dostajemy tezę.

Wykres funkcji i stycznej w 

Tym razem sytuacja jest jeszcze inna, ponieważ mamy sumę funkcji trzech zmiennych. Jednak i w tym przypadku łatwo można ją sprowadzić do sumy funkcji jednej zmiennej. Zauważmy, że dana nierówność jest jednorodna: liczniki i mianowniki ułamków są wielomianami złożonymi z jednomianów tego samego stopnia, a ponadto stopień licznika i mianownika jest taki sam. Stąd wynika, że możemy bez straty ogólności przyjąć (Jest to bardziej wygodne niż założenie  gdyż równość zachodzi dla ) Wówczas dana nierówność przyjmuje postać

Znajdując równanie stycznej do wykresu funkcji  w punkcie  otrzymujemy do udowodnienia nierówność

która jest równoważna  co jest prawdą dla

Dodając stronami otrzymane w ten sposób oszacowania wszystkich ułamków lewej strony danej nierówności, otrzymujemy tezę.

Jak nietrudno się przekonać, przy założeniu  nierówność zachodzi nie tylko dla liczb dodatnich, ale także dla nie mniejszych niż

Dla  zachodzi nierówność

Weźmy pod uwagę funkcję

Dla  mamy

więc funkcja  jest ściśle wypukła w przedziale  Stąd wynika, że dla każdej liczby  jest spełniona nierówność  Po podstawieniu wyrażenia definiującego funkcję  i prostym przekształceniu dostajemy:

Prawa strona ma wartość stałą

Przypuśćmy, że prosta  jest asymptotą funkcji  przy  To znaczy, że

Uzyskana przed chwilą zależność

przybiera postać

To już jest oczekiwana sprzeczność, bo wyrażenie w pierwszym nawiasie kwadratowym ma stale wartość 0, a to w drugim dąży do 0 gdy  Wniosek: Funkcja  spełniająca podane warunki, nie ma asymptoty przy

Niech  będzie funkcją, spełniającą podane warunki. Zauważmy, że  w przedziale  (w przeciwnym razie, oznaczając przez  najmniejsze miejsce zerowe funkcji  mielibyśmy w przedziale  nierówności    skąd  czyli ).

Weźmy pod uwagę funkcję  z pochodną

Dostajemy oszacowanie

Ale wartości funkcji  w przedziale  są ujemne. Tak więc  dla wszystkich ; to znaczy, że liczba  nie należy do tego przedziału – czyli zachodzi nierówność  Na odwrót, jeżeli  to określamy funkcję  wzorem

(suma w nawiasie jest dodatnia w tym przedziale, więc określenie jest poprawne). Ma ona wymagane własności:    Stąd odpowiedź: liczby  o które pyta zadanie, są scharakteryzowane nierównością