Delta mi!

Po ujednorodnieniu otrzymamy

co się sprowadza do nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną.

W celu ujednorodnienia lewą stronę nierówności pomnożyć przez a prawą przez Następnie skorzystać z nierówności

Zapisać wraz z dwiema analogicznymi równościami. Wykorzystać nierówność

Po ujednorodnieniu mamy wykazać nierówność Można to zrobić, dodając stronami nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną

oraz dwie nierówności analogiczne.

Przyjąć i udowodnić, że dla oraz analogicznie dla i

Przyjąć warunek Wtedy

Korzystając dla z nierówności

otrzymamy Tę ostatnią nierówność wystarczy zsumować dla

Znów przyjąć, że Posługując się nierównościami między średnimi potęgowymi, wykazać dla nierówności

i zsumować je.

Udowodnić nierówność

Zauważyć, że dla Ponadto dla nierówność jest ostra.

Skorzystać z tożsamości (1 z artykułu) dla gdzie

Rozważyć takie pary dla których gdzie Po sporządzeniu tabeli w kolumnach mamy kolejno par, a w wierszach par. Trzeba jeszcze zastosować nierówność

Ponieważ mamy Dla w polu tabeli umieszczamy liczbę jeśli w przeciwnym razie umieszczamy 0. Sumując kolumnami, otrzymamy lewą stronę dowodzonej nierówności, natomiast wierszami - liczbę mniejszą od prawej strony.

Niech będą różnymi dzielnikami pierwszymi iloczynu oraz niech oznacza wykładnik liczby w rozkładzie na czynniki pierwsze dla i W pole tabeli o współrzędnych wpisujemy Należy zaobserwować, że w każdym wierszu są różne liczby całkowite dodatnie, więc ich iloczyn wynosi co najmniej Ponadto iloczyny liczb w kolejnych kolumnach są równe

Przyjąć i w tożsamości.

Korzystając z równości (1) z artykułu, otrzymujemy

Dalej można np. zauważyć, że

Niech Wówczas mamy więc funkcja przyjmuje zarówno dodatnie i ujemne wartości, skąd

Mamy

Funkcja przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, więc Jest to nierówność równoważna dowodzonej.

Trzeba pomnożyć obie strony założenia indukcyjnego przez liczbę dodatnią następnie wystarczy udowodnić, że