Delta mi!

Najmniejszym rozwiązaniem jest:

Niech spełnia warunki zadania. Zauważmy, że możemy wybrać takie, że wielomian ma współczynniki całkowite oraz współczynnik przy najwyższej potędze wynosi 1. Niech i niech będzie liczbą pierwszą. Jeśli jest dostatecznie duże, to równanie ma dokładnie jedno dodatnie rozwiązanie, które zgodnie z założeniem o wielomianie jest wymierne. Korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych dostajemy, że rozwiązaniem tym może być tylko lub zatem dla dostatecznie dużych musi to być Wynika stąd, że dla dostatecznie dużych liczb pierwszych zatem co oznacza, że jest stopnia 1.

Podstawiając oraz do tożsamości

uzyskujemy

czyli

Wobec tego wystarczy przyjąć

Wykażemy, że każda dodatnia liczba wymierna ma przedstawienie wymaganej postaci. Weźmy dowolną liczbę wymierną

Rozpatrzymy najpierw przypadek, gdy ; tak więc W tym przypadku wystarczy przyjąć

wówczas

podobnie wyrażamy i otrzymujemy

W przypadku ogólnym, gdy jest dowolną liczbą wymierną dodatnią, znajdujemy liczbę wymierną taką, że W myśl konkluzji poprzedniego przypadku liczba daje się zapisać jako ułamek

Stąd dostajemy żądane przedstawienie liczby :

Tak. Niech Wówczas Przypuśćmy, że dla pewnych liczb wymiernych Równanie ma wtedy dwa różne pierwiastki wymierne Stąd także równanie ma dwa różne pierwiastki wymierne Wobec tego z wzorów Viète'a czyli

Zgodnie z zadaniem, niech będzie taką liczbą, że oraz Tak więc

skąd Skoro musi być Dostajemy równanie z rozwiązaniami oraz Obie wartości spełniają wymagane warunki

Postulowaną własność mają na przykład wszystkie liczby postaci Żadna z nich nie jest sumą dwóch niezerowych kwadratów; przypuśćmy bowiem, że ; liczby nie mogą być obie nieparzyste (bo wówczas (mod 4)); muszą więc być parzyste, co daje przedstawienie liczby w postaci sumy dwóch niezerowych kwadratów. Dalsze zstępowanie prowadzi do konkluzji, że 4 jest sumą dwóch niezerowych kwadratów - a to absurd.

Natomiast niezerowe wymierne rozwiązanie równania łatwo uzyskamy, biorąc dowolną trójkę pitagorejską liczb naturalnych i przyjmując

Przyjmijmy oznaczenie  dla

Zauważmy, że

a stąd

Załóżmy, że taka liczba  istnieje i zapiszmy ją w postaci nieskracalnego ułamka  o dodatnim liczniku i mianowniku. Dla dowolnych liczb całkowitych  liczba

jest wymierna jako iloczyn lub iloraz liczb wymiernych. Jedno z podstawowych twierdzeń elementarnej teorii liczb mówi, że:

Istnieją więc takie liczby całkowite  że  zatem liczba  jest wymierna. Niech  oznaczają takie względnie pierwsze liczby naturalne, że  Wtedy  Wobec tego, że  liczba  jest dzielnikiem liczby  Również liczba  jest dzielnikiem  bo  Stąd wynika, że  Nie jest to możliwe, bo  (liczba  nie jest całkowita!), zatem

Oznaczmy przez  i   odpowiednio liczby wymierne  oraz  Wówczas  Stąd otrzymujemy

czyli

Przypuśćmy, że liczba  jest różna od zera. Wówczas

Liczba po prawej stronie ostatniej równości jest wymierna, jako iloraz dwóch liczb wymiernych. Otrzymujemy więc sprzeczność, z której wynika, że  Wobec tego

Bezpośrednio sprawdzamy, że liczba  spełnia warunki zadania. Na mocy powyższego rozumowania jest to jedyna liczba o żądanej własności.

Niech  będzie jedną z szukanych liczb. Zapisujemy ją w postaci nieskracalnego ułamka  o mianowniku  Liczba  ma być całkowita, co oznacza, że  dzieli się przez  Stąd w szczególności wynika, że  dzieli się przez  więc  Zatem  dzieli się przez 27.

Stąd wniosek, że liczba  jest podzielna przez 27; innymi słowy,  dzieli się przez 9. Skoro zaś  jest liczbą względnie pierwszą z  (czyli z 3), liczba  musi być podzielna przez 9.

Dla pewnego  całkowitego mamy więc  skąd  Na odwrót, gdy  ma taką postać, wówczas liczba  jest całkowita – o czym można się przekonać, analizując „wstecz” wcześniejsze rozumowanie, albo po prostu sprawdzając rachunkiem, że wartość tego wyrażenia wynosi  

Szukanymi liczbami wymiernymi są więc liczby postaci  (  całkowite).

Zauważmy, że oraz analogicznie

Wobec tego skąd bezpośrednio wynika teza.