Delta mi!

Wyobraźmy sobie, że wyborcy chcą wybrać parlament o rozmiarze w małym kraju, w którym nie zaistniała jeszcze koncepcja partii politycznych (w związku z czym muszą głosować bezpośrednio na kandydatów, a nie na partie polityczne), albo że pracownicy pewnej firmy lub organizacji chcą wybrać osób, które będą ich reprezentować w związkach zawodowych. Załóżmy, że każdy z wyborców głosuje, wskazując podzbiór kandydatów, których uważa za akceptowalnych: dla wyborcy taki podzbiór akceptowalnych kandydatów będziemy oznaczać przez Pokażemy, że wskazanie "sprawiedliwego" sposobu przeprowadzenia takich wyborów jest nieoczywiste.

W matematyce często rozróżnia się rzeczy liniowe od nieliniowych. W szkole uczy się o funkcjach liniowych i nieliniowych, ale te pojęcia są dużo szersze i oprócz teorii dotyczą także wielu sytuacji praktycznych. Układ liniowy można przeanalizować w ten sposób, że rozkłada się go na części, analizuje działanie każdej z nich osobno, a na końcu dodaje do siebie poszczególne wyniki. W układzie nieliniowym taka analiza może dać niepoprawne wyniki.

W poprzednim artykule (Delta 7/2020) pokazaliśmy, czym są interwały naturalne (wynikające z szeregu alikwotowego) oraz to, że przy użyciu do strojenia instrumentu tylko oktaw i kwint czystych "koło się nie zamknie". W pewnym momencie zaczęło to sprawiać problem - odkąd pojawiła się w muzyce europejskiej muzyka wielogłosowa i operowanie trójdźwiękiem. Czysty trójdźwięk durowy (jak go obecnie nazywamy) składa się oczywiście z trzech dźwięków...

Jak przekazują nam starożytni, zaczęło się od przypadkowego odkrycia przypisywanego Pitagorasowi - otóż miał on spostrzec, że jeśli stosunek długości dwóch strun jest równy stosunkowi dwóch małych liczb naturalnych, to współbrzmią one harmonijnie...

Zjawiska opisywane na poziomie "mikro" przez procesy Markowa zachowują się na poziomie "makro" jak funkcje deterministyczne, będące rozwiązaniami równań różniczkowych. Można to zaobserwować na przykładzie prostego (ale, niestety, bardzo aktualnego w chwili pisania tego artykułu) modelu początkowej, wykładniczej fazy epidemii.

W Delcie 12/2019 trochę bawiliśmy się razem z Czytelnikami prościutkim modelem epidemii. Aby zabawa trwała dłużej, w przypływie chęci podjęcia ryzyka, postawiłem kilka prognoz, które obiecałem potem sprawdzić. Popatrzmy, co z tego wynikło (pomijając, z oczywistych względów, Przepowiednię-1).

Czy lubicie długoterminowe prognozy pogody? Odbija się w nich głęboko zakorzeniona ludzka wiara, że odległą przyszłość można przewidzieć - na przekór efektowi motyla. No cóż, sam muszę przyznać, że cieszę się, gdy grudniowe prognozy przewidują piękną, słoneczną i mroźną aurę na zimowe ferie; ale jeśli zapowiadają ponury mokry standard, wtedy ratuję się myślą, że to przecież tylko prognoza...

Nagraliśmy ze znajomymi piosenkę. Nie było to profesjonalne przedsięwzięcie: nie wynajęliśmy studia nagraniowego, ale spotkaliśmy się u jednego z nas, wyjęliśmy instrumenty i zagraliśmy kilka razy do porządnego dyktafonu. Niestety, brak zawodowstwa dało się odczuć natychmiast - okazało się, że siedziałem na skrzypiącym krześle, które przy każdym moim ruchu robiło ziiik, ziiiiiik. Skrzypienie, choć nie permanentne, stanowczo utrudniało percepcję.

W pierwszej połowie XX wieku znaczący postęp prac nad matematycznymi modelami zjawisk losowych doprowadził do powstania wyodrębnionego działu matematyki wykorzystującego zaawansowane metody algebry i analizy matematycznej. Tematów badawczych dostarczały pytania stawiane przez specjalistów różnych dziedzin. Abstrahowanie od szczegółowych cech badanych zjawisk w procesie modelowania matematycznego niejednokrotnie prowadziło do zbliżonych opisów różnych zagadnień. Dzisiaj mówimy o zastosowaniach rachunku prawdopodobieństwa, które posiłkują się teorią procesów stochastycznych i statystyką. Jednolity model matematyczny stawał się także narzędziem do wykorzystania przy badaniu zagadnień, do analizy których nie wykorzystywano wcześniej metod matematycznych...

Modelowanie matematyczne jest pewnego rodzaju sztuką opisywania świata - zarówno w skali mikro, jak i makro - za pomocą równań matematycznych (równań różniczkowych, różnicowych czy stochastycznych). Opis mikroskopowy może dotyczyć zachowania pojedynczych molekuł (cząsteczek), natomiast obiektem opisu makroskopowego jest to, co widzimy "gołym okiem", m.in. przemiany zachodzące w wyniku reakcji chemicznych. Mogą to być zmiany właściwości fizycznych danych substancji (np. stan skupienia, barwa, gęstość) lub chemicznych (np. zapach, smak, toksyczność)...

Podejrzewam, że znakomita większość Czytelników Delty, nawet jeśli nie mieszka, to miała okazję przebywać w dużych miejskich aglomeracjach z rozbudowaną siecią tramwajową i zetknąć się z miejscem, w którym spotykają się trzy dwutorowe odcinki trasy...

Walka z przestępczością jest jednym z podstawowych zadań każdej władzy, od jej skuteczności zależy jakość życia obywateli. Nic więc dziwnego, że rozmaite instytucje publiczne starają się zaprzęgać do tego celu metody statystyczne i uczenie maszynowe. Opowiem tu pokrótce, jak wygląda w praktyce "maszynowe" przewidywanie przestępstw i czy daje zadowalające rezultaty. Skupię się na miastach Ameryki Północnej, ponieważ tam tego typu systemy są najbardziej rozwinięte. Aby uniknąć rozważań natury prawnej, przestępstwem będę dla uproszczenia nazywał każde złamanie prawa, niezależnie od tego, czy formalnie kwalifikuje się jako czyn zabroniony, wykroczenie czy przestępstwo.

Istnieje nieskończenie wiele brył geometrycznych, którymi matematycy nigdy dotąd się nie zajmowali, bo po prostu nie były one dla nich wystarczająco interesujące. Czasem jednak zdarza się, że i niematematyk natrafi na coś, co z pewnych powodów okaże się ważne, a wtedy robi się naprawdę ciekawie.

W końcu 2016 roku sąd okręgowy stanu Wisconsin po raz pierwszy w historii wyborów do Kongresu USA zdecydował o zmianie dystryktów wyborczych. Uzasadnieniem było to, że jednomandatowe dystrykty wyborcze dawały niesprawiedliwą przewagę Republikanom. Zdaniem sądu partia ta, mając przewagę w kongresie stanowym, po spisie powszechnym 2010 roku wyznaczyła dogodny dla siebie układ dystryktów.

Kiedy jest najlepszy moment na powiedzenie sakramentalnego "tak"? Czy obecny obiekt westchnień jest osobą, z którą spędzisz resztę życia? Ile związków musi się rozpaść, żeby stworzyć stabilną relację? Pewnie wiele osób zadaje (lub wkrótce zada) sobie takie pytania. Ciężko uwierzyć, że matematyka i algorytmika mogą nam pomóc również w romantycznych rozważaniach i sercowych dylematach. Wszystko sprowadza się przecież do określenia momentu, kiedy należy przerwać szukanie i podjąć decyzję, a ten problem jesteśmy w stanie wymodelować matematycznie.

Alessio Figalli, profesor (Eidgenössische Technische Hochschule) ETH w Zurychu, otrzymał Medal Fieldsa na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Rio de Janeiro za - jak napisano w uzasadnieniu - "wkład w teorię optymalnego transportu i jej zastosowania"...

W dniach 9-21 września 2018 r. odbyła się trzecia edycja międzynarodowego obozu Maths Beyond Limits . 60 uczestników z Białorusi, Belgii, Czech, Danii, Estonii, Norwegii, Polski, Rumunii, Słowacji, Szwecji, Ukrainy i Węgier wzięło udział w warsztatach matematycznych prowadzonych przez studentów i pracowników naukowych polskich i zagranicznych uczelni. Mieli oni także okazję do zaprezentowania własnych referatów oraz do uczestnictwa w ogólnorozwojowych zajęciach wieczornych. Ponadto, w czasie obozu odbyły się: mecz matematyczny, zawody Relays (oparte na konkursie Náboj), Puzzle Hunt, a także zajęcia sportowe i integracyjne.

Na torze w kształcie okręgu o obwodzie jednostkowym ściga się kolarzy. Każdy pędzi z inną, ale stałą prędkością. Wystartowali z tego samego punktu, jadą w tym samym kierunku. Jest ciemno, nic nie widać, choć oko wykol...

Wyobraźmy sobie porowaty materiał, może to być gleba, a może to być... ubita kawa w kawiarce. Czy przez ten materiał można przesączyć wodę? Intuicyjnie wiemy, że jest to możliwe w przypadku kawy, ale już w przypadku gleby zależy od jej rodzaju, a dokładniej - od struktury "porów wolnej przestrzeni". W roku 1957 matematycy angielscy, Simon Broadbent i John Hammersley, zaproponowali probabilistyczny model opisujący materiały porowate. Pomimo prostoty definicji model ten (zwany perkolacjami) okazał się fascynującym tematem badań. Wspomnijmy, że, między innymi, za wyniki dotyczące perkolacji Stanisław Smirnow został nagrodzony w 2010 roku najwyższym matematycznym wyróżnieniem, Medalem Fieldsa.

Uczciwi złodzieje powinni umieć się dzielić. Oczywiście, dzielić się łupami z innymi uczciwymi złodziejami, którzy pomagali w dokonaniu kradzieży. Można sobie wyobrazić, że taka uczciwość powoduje czasem pewne trudności, gdyż niektóre precjoza mogą być nieskore do podziału. Dla przykładu...

Dawno, dawno temu żył sobie w Polsce smok. Chciałbym dopisać - pod Wawelem - jak donosił Jan Długosz, ale my wiemy od kilku lat, że smokiem wawelskim zostały nazwane drapieżne dinozaury żyjące około 200 milionów lat temu. W tych czasach żyły też małe prassaki, więc nawiązując do legendy, można z pewnością powiedzieć, że smoki wawelskie czasem połykały (pra)barana, a właściwie wspólnego przodka króla Kraka i owcy, którą szewczyk nafaszerował siarką. Z upływem czasu smok wawelski zmieniał się, a za te zmiany były odpowiedzialne niewidzialne cegiełki nazywane genami, które przekazywał swoim potomkom...

Wolfram Mathematica to popularny, nie tylko wśród studentów matematyki, system obliczeniowy, który umożliwia rozwiązywanie zadań z dziedzin, takich jak matematyka, fizyka czy ekonomia. Mamy tu oczywiście rachunek różniczkowy i całkowy, algebrę i statystykę, lecz także najróżniejsze metody z zakresu od matematyki czysto teoretycznej aż po zastosowania w data science, biznesie, inżynierii czy medycynie. Łącznie mamy prawie 5000 wzajemnie zintegrowanych, wbudowanych funkcji. Mathematica używa własnego języka programowania Wolfram Language, który cechuje się wydajnym operowaniem na listach. Zaletą systemu Mathematica jest także przyjazny interfejs z rozbudowaną dokumentacją każdej z funkcji, a także szerokie możliwości interaktywnej wizualizacji obliczeń.

Jakiś czas temu Marek Bodnar z sąsiedniego Zakładu Biomatematyki pokazał mi niepozornie wyglądające równanie różniczkowe, które pojawiło się w pewnym modelu przebiegu choroby zakaźnej...

Nie ma chyba zagadnienia ekonomicznego, które by zdominowało debatę publiczną w ostatniej dekadzie tak bardzo jak rosnące nierówności. Niemalże każdy tydzień przynosi w mediach informację dotyczącą nierówności dochodowych czy majątkowych, np. ostatnio oszacowania rozmiarów unikania podatków przez firmy i osoby bogate na podstawie danych z afery Panama Papers. Unikanie to prowadzi do zaniżenia oszacowań nierówności majątkowych. Najczęściej wskazywane przyczyny rosnących nierówności to wzrost udziału dochodów z kapitału, postęp technologiczny, który nagradza umiejętności umysłowe korzystniej niż fizyczne, prowadząc do rozwarstwienia płac, procesy globalizacyjne i postępująca automatyzacja. Jako konsekwencje rosnących nierówności wskazuje się napięcia społeczne i polaryzację poglądów politycznych. W istocie nierówności są ważnym zjawiskiem społecznym. W niniejszym artykule przyjrzymy się temu, jak się je w ogóle mierzy.

Przyjrzyjmy się problemowi, przed którym staje legislator wyborczy: podział kraju na okręgi wyborcze...

Proste do zdefiniowania i zrozumienia problemy geometryczne często są trudne do rozwiązania i wymagają użycia skomplikowanych algorytmów. Weźmy, na przykład, zadanie polegające na znalezieniu największego okręgu, który możemy zmieścić w wielokącie. Środek tego okręgu nazywany jest środkiem Czebyszewa. Jeżeli mamy do czynienia z dowolnie wybranym trójkątem bądź wielokątem foremnym, środek Czebyszewa znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych jego dwóch dowolnych kątów. Zagadnienie staje się o wiele bardziej skomplikowane, gdy weźmiemy pod uwagę dowolny, nieregularny wielokąt.

Według niezliczonych źródeł internetowych (w tym polskiej Wikipedii) geometryczny środek Polski znajduje się w miejscowości Piątek. Zastosowana do uzyskania tego wyniku metoda opiera się na wyznaczeniu figury sferycznej złożonej z fragmentów południków i równoleżników przechodzących przez najbardziej wysunięte w czterech kierunkach świata punkty naszego kraju, a następnie wyznaczeniu przecięcia ortodrom (są to "linie proste" na sferze, czyli fragmenty okręgów wielkich) łączących przekątniowo te cztery punkty.

Ustalenie wspólnego stanowiska przez grupę ludzi wymaga często w pierwszym kroku wyboru metody podjęcia zbiorowej decyzji. Kluczowe stają się wówczas pytania: Jaka metoda jest sprawiedliwa? Jaka metoda najlepiej odzwierciedli preferencje członków grupy?

Drogi Czytelniku, jeśli popatrzysz na płatki śniegu, to zobaczysz wielką ich rozmaitość. Bogactwo znanych kolekcji zdjęć śnieżynek mówi nam, że nie ma dwóch identycznych płatków śniegu. Możesz zapytać, czy możemy skatalogować pokrój kryształków lodu i wyjaśnić ich kształt?

4 września 1958 roku islandzki statek patrolowy ICGV Ægir próbował zatrzymać brytyjski kuter rybacki poławiający w strefie 12 mil morskich od brzegów Islandii, został jednak staranowany przez brytyjski okręt wojenny HMS Russell. To był pierwszy incydent pierwszej wojny dorszowej. Co było przyczyną serii konfliktów, w których przeciwko jednej z największych marynarek wojennych Europy stanęła licząca siedem okrętów patrolowych i jeden wodolot flota Islandii? Czego broniła tak zaciekle?

Patrząc z bardzo ogólnego punktu widzenia, całą obserwowalną przyrodę ożywioną i nieożywioną można przedstawić jako wzajemnie powiązane procesy, czyli funkcje, które chwilom przyporządkowują stany różnych obiektów wyrażone poprzez wartości liczbowe. Aby przewidywać przebieg rożnych procesów, tworzy się modele matematyczne, które określają w każdej chwili zmiany stanów procesów w zależności od samych stanów. Matematycznie zmianę funkcji opisuje jej pochodna (różniczka), która określa, jak wielkie są przyrosty ewentualnie spadki wartości funkcji w krótkich przedziałach czasu. Równania, których rozwiązaniami są owe procesy przyjmujące jakieś zadane stany początkowe, to równania różniczkowe zwyczajne...

Opcje są kontraktami, które posiadaczowi dają prawo (ale nie obowiązek) zakupu (lub sprzedaży) określonego towaru w ustalonej chwili w przyszłości (termin realizacji) po ustalonej cenie (cena realizacji). Opcja jest więc umową, która jednej stronie (posiadaczowi) daje pewne prawa, które muszą być realizowane przez drugą stronę umowy (sprzedawcę opcji). Oczywiście, za uzyskane prawa posiadacz opcji musi zapłacić sprzedawcy określoną cenę.

Rozważymy dwie uporządkowane struktury, które są wynikiem optymalizacji pewnych deterministycznych wielkości: minimalizacji energii w stanach podstawowych oddziałujących cząstek oraz maksymalizacji wypłat w równowagach Nasha rywalizujących graczy. Zadajemy pytanie - czy porządek obecny w powyższych strukturach przetrwa stochastyczne zaburzenia zawsze obecne w rzeczywistych układach?

Gotów jestem założyć się, Czytelniku, że wcześniej o niej nie słyszałeś. Tymczasem pod tą mało medialną nazwą kryje się metoda, dzięki której współczesne superkomputery pracują pełną parą, prowadząc skomplikowane symulacje. Łączy ona w sobie algorytmiczną efektywność z fizyczną intuicją, a bez wglądu w jej matematyczny sens, być może, nigdy byśmy jej nie poznali.