Jak wykryć salamandrę?
Przyjrzyjmy się problemowi, przed którym staje legislator wyborczy: podział kraju na okręgi wyborcze...
Ordynacja wyborcza występująca w Stanach Zjednoczonych przy House of Representative polega na wybraniu 435 kandydatów z 50 stanów. Każdy stan podzielony jest na jednomandatowe okręgi zwane też dystryktami. W każdym dystrykcie dokładnie jedna partia wygrywa, zdobywając miejsce w House of Representative. Okręgi są zdefiniowane przez terytorium, powinny być spójne oraz mieć taką samą populację. Liczba okręgów w danym stanie podyktowana jest populacją i już ona jest przedmiotem wielu dyskusji. Więcej na ten temat można znaleźć w literaturze pod nazwą apportionment. Upraszczając nieco problem, przeanalizujemy, w jaki sposób sprawiedliwie dokonać podziału na okręgi wyborcze.
Okazuje się, że manipulując podziałem na okręgi, nie zmieniając liczby wyborców w okręgach, można zmienić wyniki wyborów. Manipulacja w tym zakresie nazywa się gerrymanderingiem. Nazwa jest zbitką nazwiska amerykańskiego polityka Elbridge'a Gerry'ego oraz salamandry. W 1812 roku E. Gerry, jako gubernator stanu Massachusetts, zarządził podział stanu na dystrykty w taki sposób, aby zapewnić przewagę Partii Demokratyczno-Republikańskiej. Jeden z okręgów przypominał mityczną salamandrę i został określony przez Boston Gazette jako Gerry-mander. Od tego czasu problem nie zniknął, Stany Zjednoczone stale podejmują działania mające walczyć z tym problemem.
Wprowadzenie wskaźnika
Dla uproszczenia przyjmijmy, że w wyborach kandydują tylko 2 partie: i
Wygrywają one miejsca w rządzie, które potem we własnym zakresie rozdzielają. Zakładamy, że okręgi są jednomandatowe (ich liczba
jest ustalona z góry), że w każdym jest taka sama liczba wyborców oraz że w każdym ważne głosy oddaje dokładnie tyle samo osób. Zbiór okręgów oznaczmy przez
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
- zbiór okręgów, w których wygrała partia
- liczba głosów zdobytych przez partię
w okręgu
- całkowita liczba głosów oddanych na partię
- liczba wszystkich głosów oddanych w okręgu
- liczba miejsc zdobytych przez partię
w
-tym okręgu
item
- liczba wszystkich miejsc zdobytych przez partię
- liczba wszystkich głosów oddanych w wyborach.
Zatem głosów oddanych w każdym okręgu jest dokładnie dla
Wskaźniki
i
oznaczają przewagę partii
odpowiednio w głosach, które oddali wyborcy oraz miejscach, które uzyskała:

Głosami zmarnowanymi (wasted votes) nazywamy wszystkie głosy na przegraną partię oraz na wygraną powyżej progu 50% (tzn. te, które były zbędne do zwycięstwa). Oznacza to, że zawsze połowa głosów jest zmarnowana.

Analogicznie jak poprzednio, niech to będzie liczba głosów zmarnowanych w okręgu
przez głosujących na partię
zaś
- liczba zmarnowanych głosów we wszystkich okręgach. Zachodzi następująca zależność
(przypomnijmy, że okręgi są jednomandatowe). Spójrzmy, jak wyglądają głosy zmarnowane na partie
i
W tym celu zdefiniujmy współczynnik efficiency gap

Jeżeli jest dodatnie, oznacza ono niesprawiedliwość wobec partii
gdy ujemne, to dla
Gdy
wówczas obie partie straciły podobną liczbę głosów i taką sytuację uznaje się za sprawiedliwą.
Przyjrzyjmy się bliżej informacji, którą niesie współczynnik Zauważmy, że

stąd

Niektóre usterki współczynnika :
- Współczynnik
nie odwzorowuje proporcji głosów w liczbie zdobytych miejsc. Tzn. jeśli partia
zdobywa w całym kraju 66% głosów, zaś partia
uzyskała 34%, to wówczas
Aby współczynnik
był jak najbliższy 0, to
czyli partia
powinna zdobyć 82% miejsc, zaś partia
tylko 18%.
- Jeśli partia
będzie miała co najmniej 79% poparcia w społeczeństwie, to niezależnie jak wybierzemy okręgi, będzie
wybory zawsze byłyby więc niesprawiedliwe (jeśli uznamy, że takie są wtedy, gdy
przekracza
). Wynika to z tego, że przewaga wygranych miejsc ma
razy mniejsze znaczenie od przewagi głosów w społeczeństwie.
- Dla okręgu
poziom sprawiedliwości
wynosi zero tylko wtedy, gdy jedna partia zdobędzie
razy więcej głosów od drugiej. Wtedy sprawiedliwym podziałem jest taki, w którym w każdym z okręgów proporcje głosów wynoszą
Zachęcamy do przyjrzenia się nieco poprawionej metodzie mierzenia niesprawiedliwości

Nie istnieje jednoznaczny, powszechnie stosowany sposób sprawdzania, czy podział jest sprawiedliwy. W Stanach Zjednoczonych powoływane są specjalne zespoły czuwające nad takimi podziałami. Zauważmy, że nie wszystkie założenia przytoczonego modelu daje się spełnić (np. równa liczba wyborców w każdym okręgu i jednocześnie równa liczba oddanych głosów), stąd pole do poprawy modelu jest jeszcze spore.

Z lewej współczynnik z prawej wynosi
Przykład 1. Każde pole planszy przedstawia jednego głosującego. oznacza głos oddany na partię
puste pole to głos oddany na partię
Na rysunku z lewej obie partie zdobywają taką samą liczbę mandatów. Jeśli jednak zmienimy kształt okręgów tak jak na rysunku z prawej strony, to wygra partia
zdobywając 5 mandatów.
Przykład 2. Można znaleźć przykład takich wyników głosowania na dwie partie, żeby w jednym układzie okręgów wygrała partia a w innym
Przykład 3. Czy możliwe jest, żeby sytuacja z przykładu 2 miała miejsce, gdy okręgi są dwumandatowe?
Przykład 4. W 2015 roku w USA odbyła się rozprawa pod nazwą "Gill v. Whitford", w której sąd najwyższy zgodnie z radą pomysłodawców efficiency gap zasądził, że maksymalny dopuszczalny poziom to
Tym samym stwierdzono, że wybory z 2012 i 2014 roku w Wisconsin były niekonstytucyjne (
wyniosło odpowiednio
oraz
).