Co to jest?

Geometria różniczkowa

Geometria różniczkowa zajmuje się własnościami zbiorów opisanych przy użyciu funkcji różniczkowalnych (zwykle wielu zmiennych). Zbiory można opisywać m.in. przy użyciu układów równań lub za pomocą parametryzacji.

Na przykład układ równań

$pict$

opisuje w trójwymiarowej przestrzeni $R3$ część wspólną sfery o promieniu 2 z walcem obrotowym o promieniu przekroju 1. Ta część wspólna jest linią o kształcie ósemki krzyżującej się ze sobą w punkcie, w którym walec jest styczny do sfery (Rys. 1). Zbadajmy, jak wygląda ta ósemka (jest to tzw. krzywa Vivianiego) w okolicy tego skrzyżowania. W tym celu opiszmy ją parametrycznie jako drogę przebytą przez punkt o współrzędnych

p(t) = (2sint,sin2t,1+ cos2t),t ∈R.

Dwa kolejne przejścia przez wierzchołek następują dla $t = 0$ oraz dla $|t = π.$ Rozpatrzmy wektor prędkości

p′(t) = [2cost,2 cos2t,−2 sin 2t]

poruszającego się punktu w chwili $t.$ Ponieważ $|p′ (0) = [2,2,0]$ i $p′(π) = [− 2,2,0],$ widzimy, że wędrujący po ósemce punkt przechodzi przez wierzchołek pod kątem $π /4$ do osi walca, raz z jednej, raz z drugiej strony; zatem ósemka krzyżuje się ze sobą w wierzchołku pod kątem prostym. Czytelniku, spróbuj obliczyć kąt przecięcia w ósemce wyznaczonej przez walec o innym promieniu.

Pochodna parametryzacji $′ p (t)$ jest wektorem prędkości, druga pochodna $|p′′(t)$ to wektor przyspieszenia. W sytuacji, gdy punkt porusza się wzdłuż krzywej z szybkością równą 1 (czyli długość wektora $|p′(t)$ jest równa 1), punkt nie zwalnia i nie przyspiesza, więc jego wektor przyspieszenia $′′ |p (t)$ jest prostopadły do wektora prędkości i opisuje zmianę jego kierunku (Rys. 2). Długość wektora przyspieszenia nazywa się wtedy krzywizną danej krzywej w punkcie $p t .$ Im ta długość jest większa, tym ostrzej krzywa zakręca. Linia prosta ma w każdym punkcie zerową krzywiznę, a okrąg ma w każdym punkcie krzywiznę równą odwrotności promienia.

Rozpatrzmy teraz powierzchnię $M$ w przestrzeni trójwymiarowej $|R3$ i punkt $m$ na niej oraz wybierzmy wektor $N |$ prostopadły do $|M$ w punkcie $|m.$ Dysponując pojęciem krzywizny krzywej, możemy zdefiniować krzywiznę powierzchni. Mianowicie, możemy rozpatrzyć wszystkie przekroje powierzchni $M |$ płaszczyznami zawierającymi punkt $|m$ i wektor $. N |$ Dla każdego z tych przekrojów możemy obliczyć jego krzywiznę w punkcie $m$ oraz przypisać jej znak plus, jeśli jej wektor przyspieszenia jest skierowany zgodnie z $, N |$ oraz znak minus w przeciwnym przypadku (Rys. 3). Okazuje się, że gdy będziemy obracać płaszczyznę przekroju wokół wektora $, N$ to krzywizna przekroju będzie się zmieniać między dwiema skrajnymi wartościami (noszą one nazwę krzywizn głównych). Iloczyn tych dwóch krzywizn nazywa się krzywizną Gaussa powierzchni w punkcie $m.$ Na przykład krzywizna Gaussa walca w dowolnym punkcie jest równa 0, a krzywizna sfery o promieniu $r |$ jest równa $1/r2.$ Krzywizna Gaussa ma ciekawą własność (udowodnioną przez Carla Gaussa): nie zmienia swojej wartości przy przekształceniu powierzchni zachowującym długości krzywych leżących na tej powierzchni. Oznacza to na przykład, że sfery (po rozcięciu) nie da się bez zmiany odległości przekształcić na kawałek płaszczyzny. Carl Gauss był tak dumny ze swojego twierdzenia, że nadał mu nazwę theorema egregium (twierdzenie chwalebne).

Do opisu krzywych wystarcza jeden parametr, do opisu powierzchni potrzeba dwóch parametrów. Na przykład położenie punktu na sferze o środku w punkcie $(0,0,0)$ i promieniu $|r$ można opisać parametrycznie za pomocą dwóch parametrów (długości geograficznej $|ϕ$ i szerokości geograficznej $θ,$ wzorem $p( ϕ,θ) = (r cosθ cosϕ,r cosθsinϕ ,rsinθ)$ ), jednak żadnemu z biegunów $(0,0,r)$ oraz $(0,0,− r)$ nie da się przypisać jednoznacznie pary współrzędnych. Można sparametryzować sferę bez jednego punktu za pomocą tzw. rzutu stereograficznego (w biegunie $|(0,0,r)$ zapalamy żarówkę, a każdy punkt sfery rzuca cień na płaszczyznę styczną do sfery w przeciwnym biegunie $(0,0,− r),$ Rys. 4). Całej sfery jedną parametryzacją objąć się nie da.

Uogólnieniem krzywych i powierzchni są rozmaitości różniczkowe dowolnego wymiaru, które lokalnie wyglądają jak przestrzeń $|Rn,$ ale nie muszą być zawarte w żadnej konkretnej przestrzeni $Rm.$ Rozmaitość różniczkowa wymiaru $n$ to zbiór pokryty podzbiorami $Uj,$ z których każdy posiada parametryzację $| f j V j Uj$ za pomocą funkcji różniczkowalnej $|n$ zmiennych określoną na otwartym podzbiorze $|V j$ przestrzeni $|Rn$ (Rys. 5).

Przy tym parametryzacje nachodzących na siebie podzbiorów $Ui,$ powinny być zgodne w tym sensie, że przekształcenie $f−1○ f f−1(U i j j$ jest zadane funkcjami różniczkowalnymi. Na przykład dla sfery $S$ można jako kawałki $Ui$ wybrać sześć półsfer opisanych nierównościami

$pict$

a jako ich parametryzacje przyjąć rzuty wzdłuż odpowiednich osi, np.

f V = {(y, z)∈ R2 y2 + z2 < r2} U 1 1

określić wzorem

√ -2---2---2- f1(y,z) = ( r − y −z ,y,z).

Równie dobrze można użyć dwóch parametryzacji sferycznych lub dwóch rzutów stereograficznych. Takie podejście daje szersze możliwości. Na przykład za pomocą powyższej konstrukcji zastosowanej do trzech podzbiorów $|Uj$ można opisać płaszczyznę rzutową, która nie jest powierzchnią orientowalną (zawiera wstęgę Möbiusa).