Co to jest?

Marian Smoluchowski

Pudełko Smoluchowskiego, losowe ruchy w grafie i egzopeptydazy

Marian Ritter von Smolan Smoluchowski - światowej sławy polski fizyk, pionier fizyki statystycznej, alpinista i taternik, żył w latach $|1872 − 1917:$ Egzopeptydazy to specjalny typ enzymów. Co może mieć wspólnego Smoluchowski z egzopeptydazami, skoro ani on, ani nikt z jego współczesnych nie wiedzieli o ich istnieniu? I co do tego mają grafy? Postaram się wszystko wyjaśnić w odpowiedniej kolejności. Zacznę od uproszczonego modelu fizycznego. Podobno zbliżony model rozpatrywał Smoluchowski, ale, niestety, nie udało mi się dotrzeć do źródeł i sprawdzić tej informacji.

Wyobraźmy sobie "pudełko" (określony obszar przestrzeni), do którego losowo wpadają cząstki i z którego losowo wypadają. Mówiąc nieco dokładniej, zakładamy, że w "krótkim" odcinku czasu, powiedzmy $[t,t+ h],$

do pudełka wpada 1 cząstka z prawdopodobieństwem w przybliżeniu równym $a∗h$ ; prawdopodobieństwo wpadnięcia 2 lub więcej cząstek jest tak małe, że możemy je zaniedbać,
każda spośród cząstek znajdujących się w pudełku wypada z niego z prawdopodobieństwem w przybliżeniu równym $| a h,$ niezależnie od pozostałych cząstek.

Żeby to sformułować jeszcze dokładniej, wprowadzimy wygodną terminologię i kilka oznaczeń. Zamiast mówić "w pudełku jest $n$ cząstek", powiemy, że "układ znajduje się w stanie $| n$ ". Niech $|h ′ P (n, n)$ oznacza prawdopodobieństwo tego, że układ w chwili $|t+ h$ będzie w stanie $′ n ,$ jeśli w chwili $|t$ jest w stanie $|n.$ Rozumie się, że $n,n′ ∈{0,1,2,...}.$ Załóżmy istnienie granic

-1 h ′ lihm 0h P (n, n ) = Q(n,

(1)

Nazwiemy $|Q(n,$ intensywnością przejścia z $n$ do $n′.$ Ścisłe sformułowanie założeń modelu Smoluchowskiego jest takie:

⎧⎪Q(n, ⎪⎪⎪⎪ ⎨Q(n, ⎪⎪⎪⎪Q(n, (n /= n ′,n + 1 /= n′,n− 1 /= n ′). ⎪⎩

(2)

Układ znajduje się w równowadze, jeśli prawdopodobieństwa poszczególnych stanów nie zmieniają się w czasie (mówimy tu o równowadze probabilistycznej, która nie oznacza bezruchu, tylko zrównoważone losowe fluktuacje). Niech $|π(n)$ będzie prawdopodobieństwem stanu $n.$ Ogólny warunek równowagi jest następujący:

π(n) Q Q(n, n n ~ n

(3)

Wzór (3) mówi tyle, że prawdopodobieństwo wyjścia ze stanu $n$ jest równe prawdopodobieństwu wejścia do stanu $|n.$ Jeśli rozkład prawdopodobieństwa $π$ spełnia (3), to mówimy, że jest rozkładem równowagi lub inaczej stacjonarnym. Chwila zastanowienia wystarczy, żeby zrozumieć, że to dobra definicja. Silniejszy od ogólnego warunku równowagi jest następujący warunek równowagi szczegółowej:

π(n)Q(n,

(4)

Pozostawiamy Czytelnikowi łatwe sprawdzenie, że (4) implikuje (3). Warunek (4) można interpretować jako odwracalność w czasie. Film, pokazujący stan układu, powiedzmy $|n(t),$ w pewnym odcinku czasu, $|t∈ [t0,t1],$ wygląda tak samo, jak tenże film "puszczony wspak": $| n(t1 + t0− t).$ To dlatego, że przejścia $| ′ n n$ zdarzają się jednakowo często jak przejścia $′ n n$ (przy równowagowym rozkładzie prawdopodobieństwa $π$ ).

Zastanówmy się, jaki jest rozkład równowagi w modelu Smoluchowskiego. Odpowiedź jest łatwa, jeśli wpadniemy na pomysł, żeby szukać rozkładu $|π$ spełniającego warunek równowagi szczegółowej. Istotnie, jeśli zachodzi (4), to

π(n − 1)a∗ =π (n)na dlan = 1,2,....

Stąd $|π(n) = π(n −1)λ/n,$ gdzie $λ = a∗/a ,$ a więc

π(n) π (n −1) π(1) λn π(n) = ---------------- ...-----π(0) = --π(0). π (n− 1)π (n− 2) π(0) n!

Aby wyznaczyć stałą $| π (0),$ wystarczy skorzystać z oczywistego równania $∞ |Pn 0π (n) = 1.$ Ponieważ $∞ n λ |Pn 0λ /n! = e ,$ więc $−λ π (0) = e .$ Otrzymaliśmy następujący wynik.

Twierdzenie 1. W modelu Smoluchowskiego rozkład prawdopodobieństwa dany wzorem

n π(n) = e−λλ-- (n = 0,1,...) n!

jest rozkładem równowagi.

Można pokazać, że wychodząc z dowolnego stanu początkowego, w długim okresie czasu zbliżamy się do rozkładu równowagi: $t limt ∞ P (n0,n) = π(x)$ dla wszystkich $n0$ i $n.$ Sławny rozkład występujący w Twierdzeniu 1 związany jest (jak wiele innych wspaniałych obiektów matematycznych) z nazwiskiem francuskiego fizyka i matematyka Siméona Denisa Poissona $|(1781 −1840).$ Zastanówmy się, jaka jest średnia liczba cząstek w pudełku Smoluchowskiego (znajdującym się w równowadze). Jeśli tę średnią liczbę oznaczymy chwilowo przez $|m,$ to możemy przeprowadzić następujące rozumowanie. W krótkim okresie długości $h, |$ w przybliżeniu,

do pudełka wpada średnio $a |∗h$ cząstek,
z pudełka wypada średnio $|ma$ cząstek.

Ponieważ średnio tyle samo cząstek wpada, co wypada (równowaga!) to $|a h = ma ∗$ skąd $m$ Tak więc zmienna losowa o rozkładzie Poissona ma wartość średnią (nieszczęśliwie nazywaną też "wartością oczekiwaną") równą $λ.$ Koledzy matematycy nie uznają tego rozumowania za dowód, ale moim zdaniem to ciekawe wyprowadzenie.

Zwróćmy uwagę na zaskakujący fakt. Ponieważ model (2) spełnia warunek (4), to jest on odwracalny w czasie. Oglądając nasze pudełko znajdujące się w równowadze probabilistycznej, nie mamy możliwości rozpoznania, w którym kierunku płynie czas.

Cały artykuł dostępny jest w wersji do druku [application/pdf]: (702 KB)