Wprawdzie „natura” cząsteczek jest kwantowa, ale ich ruch pomiędzy zderzeniami można opisać klasycznie, o ile energia nie jest zbyt wysoka. Samo zderzenie cząsteczek należy opisywać prawami mechaniki kwantowej, ale jedyną wielkością, której potrzebujemy w analizie ich ruchu, jest tak zwany przekrój czynny na zderzenie, czyli – mówiąc niezbyt dokładnie – prawdopodobieństwo zderzenia. Najczęściej jednak traktujemy cząsteczki jako sztywne kule zderzające się sprężyście, bez wnikania w to, co dzieje się z nimi, gdy znajdą się bardzo blisko. Jeśli potraktujemy cząsteczki jako klasyczne sztywne kule, obliczenie przekroju czynnego na zderzenie jest zadaniem trywialnym. Sprzeczność między nieodwracalnością wielu fizycznych procesów a odwracalnością praw mechaniki klasycznej nosi nazwę paradoksu Loschmita. Co więcej, z twierdzenia Poincarégo o powrocie wynika, że dla prawie wszystkich stanów początkowych układ powróci w pobliże stanu początkowego, choć dla układów makroskopowych ten czas powrotu jest niesłychanie duży (większy niż czas życia Wszechświata). Porównanie konsekwencji twierdzenia Poincarégo z istnieniem procesów nieodwracalnych nazwano paradoksem Zermelo. Z obu paradoksów płynie wniosek, że nieodwracalności procesów w makroskopowych układach nie można wytłumaczyć w kategoriach czysto mechanicznych (niezbędne są pewne założenia o charakterze statystycznym), a poza tym nieodwracalność nie ma charakteru bezwzględnego, lecz związana jest z właściwą układowi skalą czasu. Należy wspomnieć, że twierdzenie Poincarégo dotyczy zachowawczych (izolowanych) układów mechanicznych, natomiast układy, z którymi mamy do czynienia w rzeczywistości, nie są izolowane, jednak nie tu tkwi istota rzeczy.

Dążenie makroskopowego układu do stanu równowagi – co jest procesem nieodwracalnym – w przypadku rozrzedzonego gazu opisywane jest równaniem Boltzmanna. Jednak analiza zachowania się wielkiego zbioru cząsteczek poruszających się w trójwymiarowej przestrzeni jest niesłychanie trudna, dlatego uprościmy sobie zadanie i przedyskutujemy własności bardzo prostego modelu, mającego wszystkie interesujące nas własności, zaproponowanego przez Marka Kaca. Model ten został nazwany pierścieniem Kaca. Rozważymy zatem okrąg podzielony przez  punktów na   komórek, każda z nich zawiera kulkę białą lub czarną, założymy przy tym, że w stanie początkowym dominują kulki jednego koloru. W jednostkowych odstępach czasu każda z kulek przeskakuje do następnej komórki, umówmy się, że zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pewna liczba punktów zawiera wskaźniki, które zmieniają kolor mijającej wskaźnik kulki. Przejście kulki przez znacznik jest tu odpowiednikiem zderzenia cząsteczek. Spodziewalibyśmy się, że układ dąży do stanu równowagi, w którym liczba białych kulek jest równa liczbie kulek czarnych.

Naszym celem jest znalezienie równań opisujących liczbę kulek białych i czarnych jako funkcji (dyskretnego, mierzonego liczbami naturalnymi) czasu  Oznaczmy przez i  liczby białych i czarnych kulek znajdujących się bezpośrednio przed znacznikami, a więc zmieniających kolor w najbliższym skoku.

Spełnione są równania

(1)

Oznaczmy przez różnicę między liczbą białych i czarnych kulek. Spełnia ona równanie

(2)

Jest to równanie wprawdzie ścisłe, ale zupełnie bezwartościowe, nie znamy bowiem rozkładu kulek przed znacznikami. Wprowadzimy do modelu pewne założenie statystyczne. Założymy mianowicie, że ułamek cząstek zmieniających barwę w danym kroku jest równy prawdopodobieństwu tego, że wybrany punkt dzielący okrąg na komórki jest znacznikiem. Prawdopodobieństwo to możemy zdefiniować jako stosunek liczby znaczników do liczby wszystkich punktów. A zatem

(3)

Przy tym założeniu równanie (2) daje się sprowadzić do postaci

(4)

które można iterować razy, aby otrzymać rozwiązanie w postaci

(5)

W nieciekawym przypadku kiedy w każdym punkcie znajduje się znacznik, w każdym ruchu każda kulka zmienia kolor, a zatem obserwujemy oscylacje, zmienia jedynie znak, co także odzwierciedla wzór 5. Jednak gdy rozwiązanie, które otrzymaliśmy, odpowiada znikającej różnicy ilości białych i czarnych kulek ( ), gdy dąży do nieskończoności, co zgadza się z obserwowanym w przyrodzie dążeniem do stanu równowagi; takie zachowanie się układu nazwiemy boltzmannowskim. Z drugiej strony nasz wynik w oczywisty sposób jest błędny, ponieważ mamy

Dokładniej rzecz biorąc, zarówno równanie (4), jak i rozwiązanie (5) wcale nie muszą być złe, jedynie zakres ich stosowalności jest ograniczony. Sprzeczność między nieodwracalnym charakterem obserwowanych zjawisk i odwracalnością dynamiki, jak również paradoksy Loschmita i Zermelo zostają rozwiązane, jeśli wprowadzimy zespół statystyczny i wykażemy, że równania (4, 5) opisują nie ścisłe zachowanie się dowolnego układu w zespole, lecz najbardziej prawdopodobne zachowanie się jednego z układów tworzących zespół. Zespół statystyczny zdefiniujemy jako zbiór pierścieni Kaca o tym samym początkowym rozmieszczeniu kulek czarnych i białych, ale o różnych rozmieszczeniach tej samej liczby znaczników. Niech oznacza numer punktu, natomiast ułamek układów mających znacznik w punkcie jest równy Stan mikroskopowy układu opiszemy następująco:

Posługując się tymi definicjami, możemy napisać

(6)

oraz

(7)

Możemy więc wyrazić przez warunki początkowe

(8)

(9)

Odnotujmy, że ponieważ po czasie każdy z epsilonów pojawia się dwukrotnie. Uśrednijmy to wyrażenie względem zespołu.

(10)

Po prawej stronie równania (10) mamy średnią iloczynu kolejnych epsilonów. Średnia iloczynu epsilonów nie zależy od więc możemy wyciągnąć ją przed sumę, a że są to kolejne epsilony, możemy ponumerować je od do 

(11)

Przedyskutujemy dwa przypadki, gdy jest mniejsze i gdy jest większe niż Prawdopodobieństwo tego, że kulka mija znaczników w  krokach, jest równe iloczynowi

(jest to prawdopodobieństwo wystąpienia znaczników w dowolnym układzie) przez

(jest to ilość możliwych rozmieszczeń  znaczników pośród punktów). Dla znaczników iloczyn epsilonów jest równy  Mamy zatem dla

(12)

(W oryginalnej pracy Kaca ta średnia obliczona jest w zupełnie inny, niezwykle pomysłowy, choć trudniejszy sposób.) Powyższa procedura jest poprawna pod warunkiem, że  Duże wartości w sumie (12) mogą być większe od ilości znaczników i takie składniki sumy fałszują wynik. Wynik, który otrzymaliśmy, natychmiast prowadzi do wniosku

(13)

przy czym jest on prawdziwy, gdy jest mniejsze nie tylko od lecz i od liczby znaczników. Jest to wynik zgodny z równaniem opartym na założeniu (3), tyle tylko, że opisuje on nie dokładne zachowanie się pojedynczego układu (z całego zespołu możliwych układów), lecz najbardziej prawdopodobne zachowanie się jednego z układów w zespole. Dla zapiszemy

(14)

gdzie najpierw pozbyliśmy się znaczników występujących dwukrotnie, a potem inaczej ponumerowaliśmy punkty. Dostajemy wynik taki sam jak poprzednio, tylko zamiast mamy

(15)

Wynik ten jest poprawny, gdy jest bliskie wartości z podobnych powodów jak w poprzednim przypadku. Gdy średnia po zespole dąży do wartości początkowej. Nazwiemy to antyboltzmannowskim zachowaniem się układu.

Wykazaliśmy zatem, że typowy układ będzie dążył do stanu równowagi, w którym liczba czarnych kulek jest równa liczbie białych kulek i że jest to typowe zachowanie się tylko w pewnej skali czasu. Co więcej, można wykazać, że odchylenie standardowe maleje wraz z  zgodnie z prawem

(16)

co oznacza, że w dużym zespole statystycznym większość układów zachowuje się (w odpowiedniej skali czasu) po boltzmannowsku. Nie wyklucza to faktu, że mogą istnieć w zespole także inne, bardzo szczególne układy, które zachowują się w sposób zupełnie inny niż średnie opisane powyżej, na przykład gdy znaczniki rozmieścimy na okręgu regularnie. Jeśli znacznik znajduje się w co drugim punkcie (wymaga to, by było liczbą parzystą), to po dwóch skokach każda kulka dwukrotnie zmienia kolor, czyli układ wraca do stanu sprzed dwóch skoków, zachowując się periodycznie z okresem 2. Nie jest to ani boltzmannowskie, ani antyboltzmannowskie zachowanie się układu. Czytelnik bez trudu sam znajdzie inne przykłady. Jednak są to zawsze bardzo nieliczne w zespole układy. Zdecydowana większość układów zachowuje się w sposób bliski średniej.