Wenus i pszczoły

Co mają wspólnego starożytna bogini miłości i produkujące miód owady? Odpowiedzią jest oczywiście wspaniała złota proporcja, czyli specjalny podział odcinka, o którym ostatnio pisaliśmy w kontekście astronomicznym w numerze 1/2014...

Opisany tam stosunek okresów orbitalnych Ziemi $\text{[math]}$ i Wenus $\text{[math]}$ wyraża się za pomocą złotej proporcji, $\text{[math]}$ i jest bliski $\text{[math]}$ czyli niemal 8/13. W związku z tym momenty koniunkcji tych planet wyznaczają prawie idealny pentagram, w rzeczywistości bowiem w ciągu 8 lat ziemskich Wenus okrąża Słońce $\text{[math]}$ raza. Rysunek obok ilustruje rezonans w ruchach planet w nieco inny sposób: to orbita Wenus oglądana z układu odniesienia poruszającego się wraz z Ziemią. Jak widać, pentagram można "zakodować" również w znacznie mniej groźnie wyglądający es-flores, orbitalny kwiatek o pięciu płatkach.

Jaki jest jednak związek złotej proporcji z pszczołami? Załóżmy najprostszy model pokoleniowy ula: trutnie $\text{[math]}$ pochodzą z niezapłodnionych jajeczek, podczas gdy narodziny robotnicy $\text{[math]}$ wymagają udziału trutnia, który to zadanie spełnia tylko raz w życiu. Liczba robotnic w danym pokoleniu równa się zatem liczbie trutni z pokolenia poprzedniego, a także: liczba robotnic w danym pokoleniu jest równa liczbie robotnic w dwu poprzednich pokoleniach. Całkowita liczba pszczół w pokoleniu $\text{[math]}$ jest równa liczbie ciągu Fibonacciego $\text{[math]}$ co obrazuje tabelka.

Złota proporcja $\text{[math]}$ wynika wprost z ciągu $\text{[math]}$ przez $\text{[math]}$ (co ciekawe, wartość granicy nie zależy od wartości początkowych ciągu, z wyjątkiem przypadku pary $\text{[math]}$ ); asymptotyczna zależność została opisana przez Johannesa Keplera, obserwatora ruchów Wenus oraz pierwszego astronoma, który przewidział przejście planety przed tarczą Słońca (6 grudnia 1631 r.).

$|------|--|--|--|--|--|--|---|---| |--n---|1-|2-|3-|4-|5-|6-|-7-|8--| | D |1 |0 |1 |1 |2 |3 | 5 |8 | |------|--|--|--|--|--|--|---|---| |--B---|0-|1-|1-|2-|3-|5-|-8-|13-| -B-+D---1--1--2--3--5--8--13--21--$

Liczba trutni i robotnic w pokoleniu n.