Dla odcinka o długości równej 1 stosunek większej części o długości  do  jest równy stosunkowi

Dodatni pierwiastek tego równania to  stąd  Oznacza to, że część o długości  stanowi około  z długości całego odcinka (jak również, część o długości  to około  długości ). Walory złotego podziału docenia się od dawna w sztuce: rzeźbie, malarstwie i architekturze, ponieważ tworzy on miłe dla oka wrażenie harmonii pomiędzy elementami całości budynku, rzeźby lub obrazu. Złoty podział jest wszechobecny w przyrodzie: w rozmieszczeniu gałązek i liści wielu roślin, kształcie muszli itd. Postać wyprostowanego człowieka również dzieli się na części według złotej proporcji. W matematyce  pojawia się w figurach foremnych: pięciokącie, dziesięciokącie, dwunastościanie i dwudziestościanie, a także spirali logarytmicznej, w ciągu Fibonacciego i innych obiektach matematycznych.

Zajmiemy się teraz analizą ruchów Ziemi i Wenus w heliocentrycznym układzie odniesienia. Wyniki będą przybliżone, ponieważ zakładamy, że orbity planet są okręgami i leżą w jednej płaszczyźnie. Przyjmijmy, że średnia odległość Wenus–Słońce wynosi  AU (jednostki astronomicznej, czyli średniej odległości Ziemia–Słońce,  AU). Z trzeciego prawa Keplera w postaci uogólnionej,  dostajemy, przy założeniu równości mas planet oraz  stosunek ich okresów orbitalnych  czyli wartość bliską  Konfiguracje pojawiające się w tym układzie odzwierciedlają więc przybliżony złoty podział – w tym przypadku związaną z częstością ruchu planet „muzyczną harmonię”. Jeśli zaś chodzi o odległości geometryczne, rysunek 1 przedstawia Wenus w koniunkcji dolnej. Na powierzchni Wenus zaznaczona jest fikcyjna wieżyczka skierowana w tym momencie ku Ziemi. Następna koniunkcja Wenus nastąpi po czasie  zwanym okresem synodycznym Wenus. Do obliczenia tego okresu przyjmijmy wyliczone powyżej wartości:

W tym okresie promienie wodzące planet zakreślą kąty: dla Ziemi  a dla Wenus  Wenus znajdzie się w koniunkcji dolnej oznaczonej I. Kolejne koniunkcje dolne zaznaczone są na rysunku 1 w regularnych odstępach. Piąta koniunkcja jest powtórzeniem konfiguracji początkowej. Czas  jest okresem powtarzalności konfiguracji tych trzech ciał w przestrzeni. W czasie  Ziemia wykonuje wokół Słońca 8 pełnych obiegów, a Wenus 13. Rotacja Wenus wokół własnej osi odbywa się w kierunku wstecznym niż rotacja większości planet i wynosi około 243 dób ziemskich. Oznacza to, że w ciągu jednego dnia ziemskiego Wenus obraca się o kąt  Po pierwszym okresie  kąt, o jaki obróciła się Wenus, wynosi więc

Przy każdej koniunkcji dolnej Wenus zwrócona jest do Ziemi tym samym miejscem na jej powierzchni (wieżyczką ku Ziemi). Z powodu bardzo powolnej rotacji doba na Wenus, tzn. odstęp czasu pomiędzy kolejnymi wschodami Słońca, wynosi  dób ziemskich. Wynika stąd, że pomiędzy koniunkcjami upływa  dób wenusjańskich. Miejsca koniunkcji Wenus na jej orbicie znajdują się w wierzchołkach pięciokąta foremnego (Rys. 2). Łącząc odcinkami kolejne pozycje planety podczas koniunkcji, otrzymujemy dla czasu  pentagramy: jeden dotyczący ruchu Ziemi, a drugi Wenus. Punkty przecięcia przekątnych pięciokąta wyznacza ich złoty podział:  oraz  Odkryliśmy więc kolejną harmonię w ruchach Ziemi i Wenus wokół Słońca. „Boska proporcja” przejawia się w okresach obiegu tych planet  oraz w geometrii dotyczącej koniunkcji Wenus  Na rysunku 3 przedstawiony jest dodatkowo ziemski pentagram z rysunku 2 Jego przecinające się ramiona tworzą w środkowej części pięciokąt foremny. Okrąg opisany na nim ma promień niemalże równy średniej odległości Merkurego od Słońca. W rzeczywistości półosie eliptycznej orbity Merkurego wyraźnie odbiegają od średniej odległości, podobnie jest w przypadku Plutona (mimośrody ich orbit mają wartości ponad ).

Rys. 3

Wiara w istnienie porządku w rozmieszczeniu i ruchach planet jest dla wielu uczonych inspiracją do ich poszukiwań. W XVII w. Johannes Kepler sformułował prawa dotyczące ruchu planet, a XVIII-wieczny astronom Johann Titius z Wittenbergi podał matematyczną regułę, według której rozmieszczone miały być planety. Wkrótce później regułę tę rozpowszechnił Johann Bode. Reguła Titiusa–Bodego umożliwia w prosty sposób obliczenie przybliżonych średnich odległości planet od Słońca. Odległość ta to  AU, gdzie  począwszy od Merkurego, wynosi  Mimo zaskakująco dobrej zgodności dla większości planet reguła ta nie wynika wprost z równań mechaniki nieba, może za to być traktowana jako wygodne „pierwsze przybliżenie”.

Przedstawione wyżej obliczenia traktuję jako ciekawostkę, która daje mi poczucie, że ruchami ciał niebieskich rządzą prawa o walorach estetycznych (muzyka sfer?). Przyczyną tych prawidłowości są, jak obecnie wiemy, wzajemne oddziaływania w układzie Słońce–najbliższe planety, w szczególności występowania rezonansów pomiędzy składnikami układu. Dlaczego pojawił się tu złoty podział? Tego nie wiem, zachęcam jednak do własnych badań w poszukiwaniu nowych prawidłowości.

---