Delta mi!

Jedno pytanie to za mało, gdyż dla dowolnego wielomiany i dadzą tę samą odpowiedź. Okazuje się, że dwa pytania są już wystarczające! Na początku Małgosia może zapytać o wartość Jest to suma wszystkich współczynników wielomianu zatem jest nie mniejsza od każdego ze współczynników. Teraz wystarczy poprosić o ; reprezentacja tej liczby w systemie o podstawie da Małgosi szukane współczynniki wielomianu

Niech gdzie są liczbami całkowitymi. Oczywiście dla (przyjmujemy ). Załóżmy, że dla pewnego Wówczas dla pewnego czyli W tej sytuacji dzieli Załóżmy, że Z podzielności wnioskujemy kolejno oraz czyli Jednak ma tylko 4 różne dzielniki całkowite, co przeczy równości Przypadek rozpatrujemy podobnie i w ten sposób kończymy dowód, że tylko pierwiastki wielomianu są całkowitymi pierwiastkami wielomianu co dopełnia rozwiązanie.

Niech będą pierwiastkami tzn. Korzystając ze wzorów Viète'a, mamy

W tej sytuacji

skąd dla Pozostaje łatwe sprawdzenie, że wielomian spełnia przedstawione w zadaniu warunki. Dlatego dla

Niech będzie wartością danego trójmianu w punkcie po zmianie współczynników przez -tego ucznia i niech będzie wartością w -1 trójmianu napisanego przez nauczyciela. Zauważmy, że a (gdzie to numer ostatniego ucznia). Ponadto zachodzi nierówność Rzeczywiście - jest to jasne, gdy zmieniamy wyraz wolny, zaś zmieniając o wartość współczynnika przy dodajemy lub odejmujemy 1 do wartości wielomianu w -1. W takim razie istnieje takie że Zatem w pewnym momencie na tablicy był napisany trójmian którego jednym z pierwiastków było -1; ze wzorów Viète'a wnosimy, że drugim jego pierwiastkiem była liczba całkowita

Niech spełnia warunki zadania. Zauważmy, że możemy wybrać takie, że wielomian ma współczynniki całkowite oraz współczynnik przy najwyższej potędze wynosi 1. Niech i niech będzie liczbą pierwszą. Jeśli jest dostatecznie duże, to równanie ma dokładnie jedno dodatnie rozwiązanie, które zgodnie z założeniem o wielomianie jest wymierne. Korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych dostajemy, że rozwiązaniem tym może być tylko lub zatem dla dostatecznie dużych musi to być Wynika stąd, że dla dostatecznie dużych liczb pierwszych zatem co oznacza, że jest stopnia 1.

Zauważmy, że dla dowolnych różnych liczb całkowitych ma miejsce podzielność

Istotnie, oznaczając mamy

a każda z liczb jest podzielna przez (w razie potrzeby przyjmujemy ).

Korzystając z przywołanego spostrzeżenia, możemy zapisać

co w połączeniu z założeniami zadania prowadzi do wniosku, że jest liczbą podzielną zarówno przez jak i przez Pozostaje skorzystać z założenia, że liczby i są względnie pierwsze.

Przyjmijmy oznaczenie

i rozważmy wielomian Skoro

oraz liczby są różne, to są one różnymi pierwiastkami wielomianu Stąd na mocy wzorów Viéte'a uzyskujemy

Łatwo sprawdzić, że liczby spełniające założenia zadania rzeczywiście istnieją, np.

więc znaleziona wartość 0 istotnie jest osiągalna.

Odpowiedź: -23.
Zauważmy, że dla każdego

W szczególności dla oraz :

Wymnażając stronami powyższe dwie równości, uzyskujemy po lewej stronie żądany iloczyn, a po prawej liczbę

Podstawiając oraz do tożsamości

uzyskujemy

czyli

Wobec tego wystarczy przyjąć

Niech Przypuśćmy, że dla ustalonej liczby istnieją dwa różne wielomiany stopnia spełniające podane równanie. Oznaczmy ich współczynniki wiodące przez (więc ); Przyrównując współczynniki wiodące po obu stronach równania widzimy, że (dla ). Zatem Stąd wynika, że różnica jest niezerowym wielomianem stopnia

Odejmujemy stronami równania (dla ) i przekształcamy uzyskaną równość:

Iloczyn po prawej stronie jest wielomianem stopnia wielomian po lewej stronie ma stopień To już sprzeczność, skoro ; dwa różne wielomiany stopnia o podanej własności istnieć nie mogą.