O trójkątach (nie tylko) na sferze

Rozpocznijmy od przypomnienia, czym jest trójkąt geodezyjny. Mając dane dwa punkty na powierzchni (powiedzmy, że leżące odpowiednio blisko siebie), najkrótszą łączącą je krzywą leżącą na tej powierzchni nazwiemy geodezyjną. Dla przykładu - na płaszczyźnie tę rolę pełnią odcinki, a na sferze łuki tzw. okręgów wielkich. Przez trójkąt geodezyjny rozumiemy obszar wyznaczony przez trzy punkty, zamknięty między łączącymi je geodezyjnymi. Kąt w wierzchołku takiego trójkąta liczymy jako kąt między stycznymi do odpowiednich krzywych geodezyjnych.

W poprzednim numerze (Delcie 2/2019), w artykule O trójkątach na sferze, wprowadziliśmy pojęcie krzywizny Gaussa, opierając się na przykładzie sfer o różnych promieniach. Przypomnijmy je w trochę zmienionej wersji: jeśli na danej powierzchni $|ℳ$ dowolny trójkąt geodezyjny o kątach $|α,β,γ$ i polu $|A$ spełnia nierówność

+ α β +γ ⩾ π + K⋅ A,

(*)

to powiemy, że powierzchnia ta ma krzywiznę Gaussa ograniczoną z dołu przez $|K$ . Jeśli (*) jest zawsze równością, to mówimy, że krzywizna Gaussa jest równa $K$ . W świetle tej definicji płaszczyzna ma zerową krzywiznę Gaussa, natomiast okazuje się, że sfera o promieniu $r$ ma krzywiznę równą $1/r2$ , co wykazaliśmy w poprzednim artykule.

Celem tego artykułu jest uzasadnienie następującej zależności pola całej powierzchni $ℳ$ od jej krzywizny:

Twierdzenie. Jeśli $ℳ$ jest spójną powierzchnią o krzywiźnie Gaussa ograniczonej z dołu przez $K > 0$ , to jej pole $ℳ$ spełnia nierówność

4π- ℳ ⩽ K .

Warto odnotować, że dla dowolnej sfery ta nierówność staje się równością.

Na potrzeby dowodu zacznijmy od nałożenia na $ℳ$ siatki złożonej z trójkątów geodezyjnych, oznaczmy przez $𝒱$ , $ℰ$ , $ℱ$ odpowiednio zbiory wierzchołków, krawędzi i trójkątów w tej siatce, a przez $V$ , $|E$ , $|F$ liczności tych zbiorów. Zadanie pozostawione na koniec poprzedniego artykułu pokazuje, że

ℳ ⩽ 2π-(V −E + F). K

Na powyższym rysunku:
$|∂1 e1,e2,e3,e4,e5 v1,v6 ,$
$|∂2 f1, f2, f4 e1,e2,e3,e4,e9$

Pozostaje więc wykazać nierówność $V −E + F ⩽ 2$ . Sprowadziliśmy więc dowód twierdzenia do następującego faktu:

Lemat. Jeśli spójna powierzchnia $ℳ$ jest pokryta trójkątną siatką, to $|V − E + F$ nie przekracza 2.

Aby ten fakt uzasadnić, wprowadzimy narzędzie pomocnicze, w którym odpowiednio doświadczony życiem Czytelnik może rozpoznać homologie symplicjalne o współczynnikach w $|Z2$ .

Wprowadźmy zbiory potęgowe (czyli zbiory wszystkich podzbiorów) $2𝒱$ , $2 ℰ$ , $|2ℱ$ i określmy tak zwany operator brzegu $|∂1 2ℰ 2 𝒱$ :

∂1(X) = {v ∈V v jest końcem nieparzyście wielu krawędzi należących do X}.

Analogicznie definiujemy drugi operator brzegu $∂2 2ℱ 2ℰ$ :

∂2(Y) = {e∈ E e jest kraw ędzią nieparzyście wielu ścian należących do Y}.

Nazwa operator brzegu bierze się stąd, że $|∂1({e})$ to dwuelementowy zbiór końców krawędzi $e$ , a $|∂ ({ f}) 2$ jest zbiorem trzech boków ściany $| f$ .

Dla dowodu kluczowa jest pewna własność tych operatorów, którą nazwiemy tutaj liniowością. Mianowicie operator $p 2A 2B$ nazwiemy liniowym, jeśli

p(A1 ÷ A2) = p(A1) ÷p(A2) dla A1, A2 ⊆ A,

gdzie $÷$ oznacza różnicę symetryczną dwóch zbiorów. Sprawdzenie liniowości operatorów $|∂1$ i $|∂2$ zostawimy Czytelnikowi jako ćwiczenie (rozwiązanie tutaj).

Równość $p(A1) = p(A2)$ jest równoważna równości $p(A1) ÷ p(A2) = ∅$ , co (jeśli $p$ jest liniowy) zachodzi dokładnie wtedy, gdy $p(A1 ÷ A2) = ∅$ . Stąd wynika, że $|p$ przyjmuje każdą swoją wartość tyle samo razy, a mianowicie $| p −1(∅ )$ razy. Oznacza to, że zbiór $2A$ można podzielić na $A p(2 )$ podzbiorów, każdy o liczności $−1 p (∅)$ , co daje nam równość

2A = p(2A) ⋅ p−1(∅ ) .

(1)

Ustalmy ścianę $f$ i oznaczmy jej krawędzie oraz wierzchołki jak na rysunku, wówczas $∂2({ f }) = {e1,e2,e3}$ . Widzimy teraz, że każdy z wierzchołków $|v1,v2,v3$ należy do dwóch krawędzi z otrzymanego zbioru, natomiast każdy pozostały wierzchołek nie należy do żadnego. Jako że 0 i 2 są liczbami parzystymi, wnioskujemy, że $∂ (∂ ({ f })) 1 2$ jest zbiorem pustym. Korzystając z liniowości operatorów $|∂1$ i $|∂2$ (i indukcji względem $k$ ), możemy wyprowadzić równość $∂1(∂2({ f1,..., fk})) = ∅$ dla dowolnego podzbioru $|{ f1,..., fk}$ rodziny $ℱ$ . Oznacza to, że jeśli $ℰ ′$ jest wartością $∂2$ (czyli jest elementem $∂ (2ℱ) 2$ ), to $∂ (ℰ′) = ∅ 1$ (czyli $ℰ ′$ jest elementem $−1 |∂1 (∅ )$ ). Zbiór $ℱ ∂2(2 )$ jest więc podzbiorem $−1 ∂ 1 (∅ )$ , w związku z czym

∂2(2ℱ) ⩽ ∂ −11 (∅ ) .

(2)

Wprost z definicji $|∂2$ wynika, że $|∂2(∅) = ∅$ oraz $∂2(ℱ) = ∅$ ; sprawdzimy teraz, że istotnie $∂−21(∅) = {∅,ℱ}$ . Rozważmy mianowicie podzbiór $|ℱ′⊆ ℱ$ , dla którego $∂ 2(ℱ ′) = ∅$ . Warunek ten oznacza, że jeśli jakaś ściana należy do $ℱ ′$ , to każda ze ścian sąsiadujących również należy do $ℱ ′$ . Ponieważ $ℳ$ jest powierzchnią spójną, łatwo zauważyć, że wówczas wszystkie ściany muszą należeć do $ℱ ′$ . Pozostawia to dwa możliwe przypadki: $ℱ′ = ℱ$ oraz $|ℱ′= ∅$ .

Wykażemy również, że $|∂1(2ℰ) = 𝒫$ , gdzie $𝒫$ jest rodziną wszystkich parzystoelementowych podzbiorów $|𝒱$ . Zauważmy najpierw, że $|∂({e}) 1$ jest zbiorem dwuelementowym, a więc $|∂({e}) ∈ 𝒫 1$ . Ponieważ różnica symetryczna dwóch zbiorów parzystej mocy również jest parzystej mocy, ogólny warunek $∂ 1({e1,...,ek})∈ 𝒫$ łatwo otrzymujemy z liniowości $|∂1$ przez indukcję ze względu na $k$ . Stąd zawieranie $|∂(2ℰ) ⊆ 𝒫 1$ . Dla dowodu przeciwnego zawierania rozważmy najpierw dowolny dwuelementowy zbiór wierzchołków $|{v1,v2}$ . Dzięki spójności $|ℳ$ możemy znaleźć łamaną $|e1,...,ek$ prowadzącą z $|v1$ do $|vk$ ; wprost z definicji mamy wtedy $∂1({e1,...,ek}) = {v1,v2}$ . Ogólny przypadek ponownie otrzymujemy przez indukcję. Jeśli dla dowolnych $v ,...,v 1 4$ umiemy znaleźć podzbiory $X,Y$ spełniające $∂ 1(X) = {v1,v2}$ i $∂1(Y) = {v3,v4}$ , to

∂1(X÷ Y) = ∂1(X)÷ ∂1(Y) = {v1,...,v4}.

Iterując to rozumowanie, otrzymujemy odpowiedni zbiór krawędzi dla każdego parzystoelementowego zbioru wierzchołków.

Z powyższych dwóch akapitów wynika, że

−1 ℰ V−1 ∂2 (∅ ) = 2 oraz ∂1(2 ) = 𝒫 = 2 .

(3)

Ostatnia równość wynika stąd, że jeśli ustalimy dowolny wierzchołek $|v∈ 𝒱,$ to

X( X÷ v

zadaje bijekcję między rodziną $𝒫$ a dopełnieniem tej rodziny.

Wykorzystując równości (1), (2) i (3), otrzymujemy

2F 2ℱ ℱ −1 2ℰ 2E ---= -−1-----= ∂2(2 ) ⩽ ∂1 (∅ ) =-ℰ- = -V−1 . 2 ∂2 (∅) ∂ 1(2 ) 2

Po zlogarytmowaniu obu stron odczytujemy nierówność $V − E + F ⩽ 2$ , która kończy dowód lematu, przez to również uzasadnienie twierdzenia, w konsekwencji niestety niniejszy artykuł. A wszystko zaczęło się tak niewinnie, od sumy kątów w trójkącie...