Delta mi!

Na tablicy zapisanych jest różnych liczb rzeczywistych, przy czym jest liczbą nieparzystą. Dla każdej pary liczb z tablicy na osobnej karteczce zapisano liczbę Wykazać, że wszystkie karteczki można podzielić na dwa stosy o równych sumach zapisanych liczb.

Na tablicy zapisanych jest 5 różnych liczb rzeczywistych. Dla każdej pary liczb z tablicy na osobnej karteczce zapisano liczbę Czy może się zdarzyć, że na karteczkach zapisano liczby całkowite od 1 do 10?

Na tablicy zapisanych jest 5 (niekoniecznie różnych) liczb rzeczywistych. Dla każdej pary liczb z tablicy na osobnej karteczce zapisano ich sumę. Karteczki pomieszano, a tablicę starto. Czy na podstawie liczb z karteczek można odtworzyć liczby z tablicy?

Wykazać, że jeśli liczby spełniają warunek to

Liczby dodatnie i spełniają równość Dowieść, że

Liczby dodatnie i spełniają warunek Dowieść, że

Udowodnić, że jeśli iloczyn liczb dodatnich jest równy 1, to

Wykazać, że dla prawdziwa jest nierówność

Udowodnić, że dla liczb dodatnich i oraz liczby całkowitej zachodzi nierówność

Dowieść, że dla liczb dodatnich i oraz liczby całkowitej zachodzi nierówność

Nauczyciel napisał na tablicy trójmian kwadratowy Następnie wszyscy uczniowie w klasie podchodzili kolejno do tablicy; każdy z nich zmniejszał albo zwiększał o jeden współczynnik przy albo wyraz wolny trójmianu. Na koniec okazało się, że na tablicy widnieje trójmian Udowodnić, że w pewnym momencie na tablicy był napisany trójmian o pierwiastkach całkowitych.

Wykazać, że dla równoległoboku zachodzi równość

Punkt leży na boku trójkąta . Niech , , i . Dowieść, że (twierdzenie Stewarta).

Ustalmy półproste i mające wspólny początek które zostały podane w kolejności antyzegarowej. Prosta przecina je odpowiednio w punktach i Dowieść, że wartość wyrażenia nie zależy od wyboru prostej (niezmienniczość dwustosunku).

Dany jest prostokąt Punkty i leżą odpowiednio na odcinkach i przy czym trójkąt jest równoboczny. Dowieść, że suma pól trójkątów i jest równa polu trójkąta

Czworokąt wpisany jest w okrąg. Na tym okręgu leży punkt Udowodnić, że iloczyn odległości punktu od prostych i jest równy iloczynowi odległości punktu od prostych i

Punkty leżą odpowiednio na bokach trójkąta Spełnione są następujące równości:

Wykazać, że

W pięciokącie wypukłym zachodzą następujące równości:

Wyznaczyć miary kątów tego pięciokąta.

W trókjącie wpisanym w okrąg o środku kąt przy wierzchołku jest rozwarty oraz zachodzi równość Odcinki i przecinają się w punkcie Dwusieczne kątów i przecinają odcinek w punktach odpowiednio i Dowieść, że punkt jest środkiem odcinka

Znaleźć największe pole trójkąta o bokach gdzie jest punktem wewnątrz trójkąta równobocznego o boku 1.