Delta mi!

Dzięki odpowiednim cechom podzielności dla wystarczy rozważyć podzielne przez 3, a dla - rozważyć parzyste. Dla skorzystać z równości a dla i z równości

(a)

Dla takich zachodzi nierówność Wartość można wyznaczyć dokładnie, w zależności od parzystości Skorzystać z nierówności aby wykazać, że

(b)

Dla parzystych Dla nieparzystych skorzystać z lematu w wersji z dodawaniem i postępować podobnie jak w podpunkcie (a).

Jeśli to

Niech i W przypadku mamy natomiast dla mamy

Można wziąć dowolny dzielnik pierwszy liczby i stwierdzić, że

Jeśli i mają wspólny dzielnik pierwszy to W przeciwnym razie istnieje liczba pierwsza spełniająca warunki i Wystarczy skorzystać z lematu w wersji z dodawaniem, rozumując podobnie jak w poprzednim zadaniu.

Niech będzie dowolnym dzielnikiem pierwszym liczby Jeśli liczba z zadania jest całkowita, to i można skorzystać z lematu, bo oraz

Uzasadnić, że dla liczba ma dzielnik pierwszy i dla odpowiednio dobranego nieparzystego liczba nie dzieli się przez 3.

Niech Stosując własności kongruencji, uzasadnić, że zbiór tych całkowitych dla których jest postaci Stąd jeśli i to Liczby i są względnie pierwsze, więc nie mogą obie dzielić się przez Wywnioskować z tego, że lub Wykorzystać własność (6) z poprzedniego kącika.

Uwaga. O ile nie napisano inaczej, we wszystkich wskazówkach jest pewną liczbą pierwszą oraz

Można bez straty ogólności przyjąć, że i skorzystać z własności (1), (6) i (7), a na koniec (4).

Uwaga. O ile nie napisano inaczej, we wszystkich wskazówkach jest pewną liczbą pierwszą oraz

Weźmy liczbę pierwszą spełniającą nierówność

(a)

(b)

zapisać tę sumę w postaci i stosując własność (2'), wykazać, że

Uwaga. O ile nie napisano inaczej, we wszystkich wskazówkach jest pewną liczbą pierwszą oraz

Zachodzi podzielność z której wnioskujemy, że Rozważając osobno przypadki i korzystając z własności (2) i (3), wykazać nierówności i Dowód kończy zastosowanie (5).

Uwaga. O ile nie napisano inaczej, we wszystkich wskazówkach jest pewną liczbą pierwszą oraz

Zachodzi podzielność którą należy przełożyć na nierówności z udziałem i Rozważyć dwa przypadki: liczby są różne, lub pewne dwie z nich są równe. Pierwszy przypadek w połączeniu z własnościami (2') i (5) prowadzi do sprzeczności, drugi do równości lub analogicznej - wówczas

Uwaga. O ile nie napisano inaczej, we wszystkich wskazówkach jest pewną liczbą pierwszą oraz

Wystarczy rozważyć tylko te liczby pierwsze które dzielą - zakładamy więc, że Zachodzi nierówność Zauważyć, że każda z nierówności: i prowadzi do sprzeczności, posługując się własnościami (2') i (5).

Uwaga. O ile nie napisano inaczej, we wszystkich wskazówkach jest pewną liczbą pierwszą oraz

Bez straty ogólności niech Trzeba wykazać, że Jeśli to wynika to z podzielności W przeciwnym razie wystarczy zastosować własności (5) i (2) dla podzielności

Niech będą różnymi dzielnikami pierwszymi iloczynu oraz niech oznacza wykładnik liczby w rozkładzie na czynniki pierwsze dla i W pole tabeli o współrzędnych wpisujemy Należy zaobserwować, że w każdym wierszu są różne liczby całkowite dodatnie, więc ich iloczyn wynosi co najmniej Ponadto iloczyny liczb w kolejnych kolumnach są równe