Delta mi!

- Hop, hop, jest tam kto? - krzyczy otoczona tłumem.
- Hop, hop, spójrz tutaj. - odpowiada który co prawda słyszy ale zupełnie jej nie widzi.
- Jakie "tutaj"? Przecież dookoła nie ma żywej duszy. - otoczona tłumem po raz kolejny usiłuje dostrzec pośród otaczającej pustki.

Zgodnie ze starożytnym żydowskim prawem, jeśli oskarżony w wyniku procesu przed Sanhedrynem został jednogłośnie uznany za winnego zarzucanych mu czynów, to odstępuje się od wymierzenia kary! Taka zasada dla wielu Czytelników jest zapewne szokująca. Jednak ówcześni twórcy prawa uznawali, że jednomyślność sędziów często wskazuje na niedopatrzenie przy ocenie dowodów winy. To mogło wypaczyć wynik procesu...

Mała Basia podeszła do taty z naburmuszoną miną. Nie czekając na jego pytanie, zaczęła się żalić:
- Tato, Kasia oszukuje, źle rzuca monetą, żeby rzadziej wynosić śmieci!

Być może nie wypada zadawać tytułowego pytania w numerze marcowym, gdyż w tym miesiącu obchodzone jest wspaniałe święto tej największej bodaj celebrytki pośród liczb rzeczywistych, jednak Delta nie pozwoli zakneblować sobie ust poprawnością polityczną. Tym bardziej, że w Internecie roi się od plotek i pogłosek na ten temat. Zamieszanie rozpoczęło się od utworzonego w dobrej wierze memu (zamieszczony poniżej), którego autor w poetycki sposób opisywał rzekomą, mistyczną własność - jej rozwinięcie dziesiętne miałoby skrywać wszelkie tajemnice tego świata i odpowiedzi na wszystkie fundamentalne dla ludzkości pytania.

W roku 2009 słowem dziesięciolecia stowarzyszenie American Dialect Society ogłosiło czasownik to google, którego polski odpowiednik - guglować/guglać - omawiany jest już na stronach Słownika Języka Polskiego, PWN. Nic dziwnego, wszak korzystanie z wyszukiwarki Google stało się elementem codzienności większości z nas i nie mamy skrupułów przed zadawaniem jej pytań o najbłahsze sprawy. Idąc za myślą przewodnią tego numeru Delty, o nieoczekiwanych związkach teorii z rzeczywistością, pokażemy, co wspólnego ma wszędobylska wyszukiwarka z teorią łańcuchów Markowa, sformułowaną w początkach XX wieku.

Skończył się mecz - najważniejsze wydarzenie tygodnia. Po burzliwej wymianie zdań na jego temat trzej przyjaciele: Długi, Gruby i Ludek wracali do domu. Nagle Ludek zapytał o zadanie z matematyki, które było na jutro. Długi i Gruby stanęli jak zaczarowani. Zapomnieli o zadaniu. W necie na chwilę się zagotowało! Nastała cisza przerywana wiadomościami przychodzącymi na komórki. Nikt z klasy jeszcze zadania nie zrobił. Zadanie było krótkie: Jak gruba powinna być moneta, aby szansa, że wyląduje ona na krawędzi, wynosiła ?

Zagadnienia związane z prawdopodobieństwem i statystyką bywają zaskakujące i nieintuicyjne. Zdarza się też często, że okazują się one znacznie łatwiejsze niż się na pierwszy rzut oka wydaje.

Zacznijmy od następującego zadania: dwunastu Indian (dla ustalenia uwagi i zgrabności tytułu przyjmijmy, że pochodzą oni z plemienia Mohikanów) siedzi dookoła ogniska i pali fajkę pokoju. Procedura rozpoczyna się rzecz jasna od Wodza, który po zapaleniu rzuca zdobytą od bladych twarzy symetryczną monetą i w zależności od wyniku podaje fajkę na lewo albo na prawo. Kolejny Indianin robi to samo - pali faję, rzuca monetą i podaje dalej (fajkę, nie monetę). Nietrudno uwierzyć, że prędzej czy później fajka wpadnie w ręce ostatniego Indianina, który jej wcześniej nie palił (będzie to tytułowy ostatni Mohikanin)...

W roku 1970 Martin Gardner opisał w dziale matematycznym czasopisma Scientific American kostki do gry odkryte kilka lat wcześniej przez statystyka Bradleya Efrona...

Rozpoczniemy od żartobliwej, acz pouczającej historyjki: podczas rozmowy dwóch stałych bywalców lokalnego baru jeden z nich mówi do drugiego "Noszenie kaloszy jest bardzo niezdrowe; ilekroć budzę się rano i mam je na nogach, boli mnie głowa"...

Czy Czytelnik zna grę w przeciąganie liny? Dwie drużyny ciągną dwa końce liny w przeciwne strony, a wygrywa ta, której uda się przeciągnąć linę na swoją stronę. Ściślej, gra kończy się w momencie wyjścia środka liny (zazwyczaj oznaczonego wstążką) z umówionego pola gry. Matematycy przypisują tę samą nazwę podobnej grze rozgrywającej się w dwóch (i więcej) wymiarach, w której to środek liny może poruszać się w wielu kierunkach, a nie tylko lewo-prawo. Trudno sobie jednak takie przeciąganie wyobrazić, dlatego przyjąłem termin gra w sumo.

Doświadczenie, polegające na wielokrotnym rzucaniu monetą (symetryczną lub nie) ma tę zaletę, że każdy ma jakieś wyobrażenia dotyczące wyników. Nietrudno na przykład uwierzyć, że stosunek liczby orłów do liczby rzutów nie będzie się wiele różnił od - prawdopodobieństwa otrzymania orła w pojedynczym rzucie.

W poprzednim numerze Delty przedstawiliśmy zgrabną metodę szacowania liczby ryb pływających w stawie. Przypomnijmy doświadczenie, na którym ta metoda się opierała: najpierw łowimy rybkę, potem rysujemy jej kreskę na ogonku, następnie na kartce zapisujemy liczbę kresek, jakie widzimy na ogonku trzymanej w ręce rybki, po czym wrzucamy ją z powrotem do stawu i całą procedurę powtarzamy razy.

Losowość w grach karcianych, planszowych i komputerowych często budzi wiele kontrowersji. Sprawia ona, że gracz słabszy grający z lepszym ma szansę wygrać. Jest to pożądane w przypadku gier towarzyskich i frustrujące w przypadku gier profesjonalnych. W obu przypadkach nadmiar losowości jest zły, gdy za często zdarza się, że przewaga gracza pierwszego, wynikająca z jego inteligentnej gry, jest niwelowana przez szczęście drugiego. W moim artykule pokażę, jak z losowością można walczyć na przykładzie jednej z najbardziej losowych gier, czyli Chińczyka, którego, mam nadzieję, wszyscy znają.

W jeziorze pływa ryb, ale liczby nie znamy. Chcielibyśmy tę liczbę oszacować, nie uciekając się do osuszenia jeziora. Powiedzmy, że dysponujemy wędką, puszką farby i odrobiną wiedzy ze statystyki. Łowimy sobie jedną rybkę po drugiej i wrzucamy z powrotem do jeziora, krzywdy żadnej rybce nie czyniąc. Przed wrzuceniem do wody malujemy rybce kreseczkę na ogonku...

Historyjka na marginesie poniżej przedstawia tzw. problem podziału stawki - jedno z zadań, jakimi żywił się raczkujący rachunek prawdopodobieństwa u początków swojego istnienia. W źródłach europejskich pojawia się on po raz pierwszy w podręczniku Summa de Arithmetica, Geometrica, Proportioni, et Proportionalita włoskiego franciszkanina, Luki Paccioliego (1445-1517).

Metoda probabilistyczna gościła już na łamach Delty (np. w numerach 12/2006 i 4/2015), byłoby jednak nieprawdopodobnie głupio pominąć ją w numerze poświęconym dowodom.

Grając w większość gier karcianych, musimy przetasować talię w taki sposób, aby ich kolejność była "jak najbardziej" losowa. Pierwszym pytaniem, na które odpowiemy sobie w tym artykule, jest pytanie o probabilistyczny sposób wyrażenia tej własności.

Rozmaite zagadnienia można wygodnie i ładnie ilustrować geometrycznie. Jeśli wyniki doświadczenia losowego dają się zinterpretować jako punkty pewnego obszaru i każdy wynik jest jednakowo prawdopodobny, to prawdopodobieństwo określonego zdarzenia można wyznaczyć jako stosunek miary (pola, objętości etc.) odpowiadającej mu części obszaru do miary całości.

Wbrew pozorom tytuł niniejszego tekstu nie jest efektem zestawienia dwóch przypadkowych słów; nawet zupełnie przypadkowe przypadki mogą zdradzać pewne regularności i fakt ten wcale ich przypadkowości nie przeczy. Przypadkiem ich praktycznego zastosowania są średniowieczne tablice do gry w kości; opisane w nich zasady faworyzują jedną ze stron w sposób na tyle delikatny, że oszukiwana strona wcale się taką nie czuje...