Tag: Liczby zespolone

Narzędzia

Obiekty

Wielokąty , Liczby zespolone

Słowa kluczowe

Kategoria

Planimetria

Zadanie ZM-1560
o zadaniu...

Publikacja w Delcie: marzec 2018

Publikacja elektroniczna: 28 lutego 2018
Wyznaczyć iloczyn długości wszystkich boków i przekątnych $|n$ -kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1.

Rozwiązanie

Odpowiedź: $nn~2.$

Dla $k = 0,1,...,n − 1$ oraz $є = e2iπ~n$ niech $|ak = єk.$ Wówczas liczby $|a k$ wyznaczają na płaszczyźnie zespolonej $n$ -kąt foremny wpisany w okrąg o promieniu $1.$

Zauważmy, że wielomiany
$n− 1 n−1 f(z) =Q zk oraz g(z) =M (z− ak) k 0 k 0$
stopnia $n − 1$ mają równe współczynniki przy najwyższej potędze $|z$ oraz $|n− 1$ wspólnych pierwiastków zespolonych, mianowicie $z = ak$ dla $|k = 1,2,...,n − 1$ (ze względu na równość
$f(z) = (1− zn)/(1− z) dla z≠ 1).$
Stąd wynika, że wielomiany $f$ i $|g$ są równe, w szczególności
$n−1 M (1 −ak) = g(1) = f(1) = n, k 1$
a zatem
$n−1 M a0 −ak = n. k 1$
Powyższa równość oznacza, że iloczyn długości boków i przekątnych zawierających wierzchołek $a0$ rozważanego wielokąta (czyli, z uwagi na symetrię, dowolny ustalony wierzchołek) jest równa $n.$ Wobec tego
$1~2 M ai− a j = (M ai −aj ) = nn~2. i@ j ix j$
Narzędzia

Obiekty

Liczby zespolone , Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Analiza

Klub 44M - zadania VI 2016»Zadanie 724
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44M - zadania VI 2016

Publikacja w Delcie: czerwiec 2016

Publikacja elektroniczna: 1 czerwca 2016

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (55 KB)

Zadanie 724 zostało opracowane na podstawie propozycji, którą przysłał pan Paweł Najman z Krakowa.
Dowieść, że liczby zespolone $a, b, c$ spełniają równanie
$a + b− c + b + c− a + c+ a −b = a + b + c$
wtedy i tylko wtedy, gdy spełniają równanie
$a + b− c + b + c− a + c + a− b = a+ b +c .$

Rozwiązanie

Podstawienie $a = y+ z,$ $b = z + x,$ $c = x +y$ przeprowadza dane dwa równania do postaci

$x + y + z =-1( y+ z + z + x + x + y ) 2$ (1)

oraz

$x + y + z = x + y +z .$ (2)

Oczywiste są nierówności
$1 x + y + z ⩾-( y+ z + z + x + x + y ) ⩾ x + y+ z . 2$
Jeśli więc liczby $x,y,z$ spełniają równanie (2), to spełniają też i równanie (1). Pozostaje do wykazania implikacja przeciwna.

Załóżmy więc, że spełnione jest równanie (1), czyli że zachodzi równość w pierwszej z napisanych nierówności. To wymusza jednoczesne zachodzenie trzech równości:
$y + z = y + z , z+ x = z + x , x + y = x + y .$
Liczby $| x + y , x , y$ są długościami boków trójkąta (na płaszczyźnie zespolonej) o wierzchołkach $|0,y,−x.$ Równość $x + y = x + y$ oznacza, że jest on zdegenerowany do odcinka o końcach $|y,−x,$ czyli że punkty $|x,y$ leżą na jednej półprostej, wychodzącej z punktu $0.$ Ta sama konkluzja dla par $y, z$ oraz $|z,x$ pokazuje, że wszystkie trzy punk

Uwaga.
Warto może zauważyć, że dwa podane (równoważne) równania nie są równoważne trzeciemu równaniu:
$a + b+ c = a + b + c ,$
czyli (w terminach zmiennych $|x,y,z$ ) równaniu, łączącemu prawe strony (1) i (2). Prosty przykład: $x = y = 1,$ $|z = −1.$ Równania (1) i (2) nie są spełnione, ale ich prawe strony mają jednakową wartość.
Narzędzia

Obiekty

Liczby zespolone , Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Klub 44M - zadania X 2015»Zadanie 707
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44M - zadania X 2015

Publikacja w Delcie: październik 2015

Publikacja elektroniczna: 5 października 2015

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (68 KB)
Niech $|W(x,y,z) = 1+ 9x(x − y)(x− z).$ Znaleźć wszystkie trójki liczb zespolonych $a,b, c,$ dla których spełnione jest równanie $|W(a,b,c) = W(b,c,a) = W(c,a,b) = 0.$

Rozwiązanie

Niech $|a,b,c$ będzie jedną z szukanych trójek. Jasne, że to są trzy różne liczby. Tak więc
$0 = W(a,b,c)-−W(b,c,a)--- = a2 + b2− (a + b)c. 9(a − b)$
Równoważnie:
$(a +b + c)c = a2 +b2 + c2.$
Cykliczne przesunięcie symboli daje taką samą równość, z wyłączonym poza nawias czynnikiem $a$ lub $b.$ Skoro liczby $a,b,c$ są różne, wynika stąd, że
$2 2 2 a +b + c = 0 oraz a + b +c = 0.$
Są to więc pierwiastki wielomianu $|z3− Az2$ o współczynnikach $|A$
$(a + b +c)2 −(a2 + b2 + c2) B = ab+ bc + ca =--------------------------= 0 2$
- czyli wielomianu $|z3− C.$ To znaczy, że $a3 | = b3 = c3 = C$

Równanie $W(a,b,c) = 0$ daje teraz ciąg równości

$1 −--= a(a − b)(a− c) = a(a2− (−a)a + bc) = 2a3 + abc = 3a3, 9$ (1)

i tak samo dla $b$ i $c.$ Tak więc liczby $a, b, c$ to trzy różne pierwiastki trzeciego stopnia z liczby $−1/27$ ; czyli np.

$1 1 1 1√ -- 1 1 1 √-- a = −-, b = −--(− -+ -- 3i), c = −--(− -− -- 3i) , 3 3 2 2 3 2 2$ (2)

z dokładnością do permutacji.

Na odwrót, dla każdej z sześciu trójek, uzyskanych przez permutacje trójki (2), można odwrócić ciąg równości (1), i tym samym sprawdzić, że spełnione jest równanie $|W(a,b,c) = 0$ (oraz jego cykliczne odpowiedniki).