Opiszę tutaj badania przeprowadzone przez grupę amerykańskiego psychologa Johna Gottmana w latach osiemdziesiątych i dziewięćdziesiątych ubiegłego wieku. Pierwszy problem, przed którym stanęli badacze, to pytanie, w jaki sposób za pomocą liczb opisać emocje. W badaniach uczestniczyły 73 pary. Obserwowano ich zachowanie podczas rozmów na różne, budzące emocje tematy (takie jak pieniądze, teściowie, itp.) i zliczano zachowania „pozytywne” (np. humor, szczery uśmiech) i „negatywne” (np. krytyka, agresja). W ten sposób, po każdej takiej rozmowie otrzymywano liczbę będącą różnicą liczby zachowań „pozytywnych” i „negatywnych”, która w jakiś sposób opisywała stan emocjonalny każdego z partnerów.

Postaramy się teraz opisać zmiany stanów emocjonalnych partnerów za pomocą modelu matematycznego. Użyjemy modelu dyskretnego, czyli takiego, w którym stan procesu (tutaj stan emocjonalny każdego z partnerów) jest opisany tylko w pewnych oddalonych w czasie momentach. Dłuższą rozmowę warto arbitralnie podzielić na rundy i wydaje się, że kolejne wypowiedzi każdego z partnerów doskonale nadają się do tego, by po nich zapisać stan emocjonalny rozmówców.

Oznaczmy przez  stan emocjonalny żony, a przez  stan emocjonalny męża po  rundach. Przyjmijmy także, że to żona rozpoczyna rozmowę. Stan emocjonalny partnerów będzie zmieniał się w czasie i będzie opisany ciągiem liczb  Przyjmijmy jeszcze jedno założenie: stan emocjonalny partnera po kolejnej rundzie zależy zarówno od jego aktualnego stanu emocjonalnego, jak i od stanu emocjonalnego drugiego z  partnerów. Niech ten wpływ opisują pewne funkcje  i – ich postać ustalimy później. A zatem stan emocjonalny partnerów opisujemy następującym układem równań:

Z funkcji  i  wydzielmy część niezależną od drugiego partnera. Bez wpływów zewnętrznych nasze emocje zwykle ulegają wyciszeniu i osiągamy pewien stan równowagi wewnętrznej (który może być różny dla różnych osób – jedni są nastawieni bardziej pozytywnie do życia, inni mniej). Ten składnik najłatwiej jest modelować przez równanie liniowe. Przyjmijmy zatem, że gdyby obok nie było drugiego z partnerów, to stan emocjonalny zmieniałby się zgodnie z równaniem liniowym

(1)

Przyjrzyjmy się zachowaniu rozwiązań jednego z powyższych równań. Mamy  następnie  oraz  Stąd możemy wywnioskować

Jeśli  to wówczas ciąg  będzie zbliżał się do  czyli stan emocjonalny osoby będzie się ustalał. Z drugiej strony, jeśli  to ciąg nie będzie zbieżny i wartości  będą, co do modułu, coraz większe. Taką osobę, której emocje „nakręcają” się same z siebie, trudno uznać za zdrową psychicznie. Przyjmiemy zatem, że  oraz

Do równań (1) dodajmy wpływ męża na żonę (i odwrotnie). Otrzymamy model

(2)

Przykładowa, „idealna” funkcja wpływu męża na żonę (kolorowa linia ciągła) i bardzo uproszczona (linia przerywana).

Funkcja wpływu męża na żonę użyta przez Gottmana.

Pozostaje nam w jakiś sposób zdefiniować funkcje wpływu męża na żonę  i żony na męża  Spróbujmy wyobrazić sobie, jak taka funkcja mogłaby wyglądać. Z odbiorem pozytywnych sygnałów wysyłanych przez partnera jest podobnie jak ze słodzeniem herbaty. Jeśli do herbaty wsypiemy za mało cukru, to nie poczujemy, że posłodziliśmy napój. Z drugiej strony, jeśli wsypiemy do jednej szklanki bardzo dużo cukru (powiedzmy pięć łyżeczek), a do drugiej niewiele więcej (dajmy na to pięć i pół), to różnicy w słodkości napojów w tych dwóch szklankach nie wyczujemy. Zatem funkcja wpływu powinna zmieniać się wolno dla małych wartości emocji (pozytywnych czy negatywnych), potem powinna zmieniać się szybciej, a następnie tempo jej zmian znów powinno zwalniać. Przykład takiej funkcji narysowaliśmy na rysunku obok kolorową linią ciągłą. Chociaż funkcja opisująca odpowiedź na emocje negatywne powinna mieć podobny przebieg, nie musi być ona odbiciem symetrycznym wpływu emocji pozytywnych. Łatwo sobie wyobrazić osobę, która gwałtowniej reaguje na krytykę niż na pochwały lub odwrotnie. Taka „idealna” funkcja ma jednak podstawową wadę: jej kształt nie jest łatwy do opisania, szczególnie jeśli chcemy ją dopasować do danych doświadczalnych (choć, oczywiście, nie jest to niemożliwe). Konstruując model, staramy się uprościć opis sytuacji na tyle, na ile to jest możliwe. Pewnym pomysłem na uproszczenie tej „idealnej” funkcji jest rozpatrzenie funkcji kawałkami stałej (przerywana linia na rysunku). Wówczas zakładamy, że do pewnego momentu partnerzy nie reagują na sygnały drugiej strony, a następnie ich reakcja jest stała.

W swoich badaniach Gottman poszedł jednak inną drogą – przybliżył „idealną” funkcję przez funkcję kawałkami liniową (na dolnym obrazku). To podejście ma tę zaletę, że otrzymana funkcja jest ciągła i opisana jedynie przez dwa parametry: nachylenie prostej na prawo od zera i nachylenie prostej na lewo od zera. A zatem każda z funkcji wpływu będzie opisana dwoma parametrami i będą one dane wzorami:

Zanim krótko omówię wyniki badań grupy Gottmana, zastanówmy się, jakie własności matematyczne ma model (2), gdy funkcje wpływu są kawałkami liniowe. Interesujące jest pytanie, czy istnieją punkty, w pobliżu których wzajemne emocje mogą się ustabilizować, lub w których emocje nie będą się zmieniać. Czyli jeśli  a  to dla wszystkich  pozostanie prawdą, że  i  Punkt  o takiej własności nazywa się punktem stacjonarnym układu równań (2). Aby znaleźć punkty stacjonarne wykorzystujemy to, że  i  i podobnie  i  oraz równanie (2) i otrzymujemy układ równań:

(3)

Ponieważ funkcje wpływu są kawałkami liniowe, to układ równań (3) jest kawałkami liniowy i moglibyśmy go rozwiązać analitycznie. Jednak ciekawiej i prościej będzie spojrzeć na rozwiązanie tego układu geometrycznie. Zauważmy, że jeśli narysujemy prawe strony równań (3) na płaszczyźnie  to ich przecięcia wyznaczą punkty stacjonarne. Czynniki  i  skalują funkcje wpływu (nachylenia półprostych stają się mniejsze lub większe). Składnik  opisujący stan, do którego zbliżają się emocje żony pozbawione wpływu jej męża, przesuwa wykres tak, że przecina on oś  właśnie w tym punkcie. Podobnie, składnik  przesuwa wykres wzdłuż osi  Skoro umiemy już wyznaczyć stany stacjonarne, to teraz zbadajmy, jak zachowują się rozwiązania w okolicy tych stanów. Jeśli punkt startowy znajduje się w pobliżu stanu stacjonarnego, to badamy, czy rozwiązanie będzie się (w dłuższej perspektywie) do niego zbliżać (mówimy wtedy, że stan stacjonarny jest asymptotycznie stabilny), czy też oddali się od niego (powiemy wtedy, że punkt stacjonarny jest niestabilny). W pobliżu stanu stacjonarnego układ równań (2) przyjmuje postać

(4)

gdzie  jest równe  jeśli  i  jeśli  Podobnie,  jest równe  jeśli  i  jeśli  Żeby zobaczyć, co się dzieje w pobliżu stanu stacjonarnego, wprowadzimy nowe zmienne  i  opisujące odchylenie od stanu stacjonarnego. Mamy:

Wstawiając te równości do równania (4) i wykorzystując fakt, że spełnione są równania (3), otrzymujemy

(5)

Wstawiając pierwsze równanie (5) do drugiego (by pozbyć się ), otrzymujemy

(6)

Poszukajmy teraz rozwiązań (6) postaci

(7)

Wstawiając do (6) i przekształcając, otrzymujemy układ równań

Aby ten układ miał niezerowe rozwiązania (a właściwie nieskończenie wiele niezerowych rozwiązań), potrzebujemy, aby stosunek współczynnika przy  do współczynnika przy  był taki sam w obu równaniach. Zatem musi zachodzić

czyli

(8)

Ponieważ rozwiązania są postaci (7), to aby zbliżały się do zera (czyli  i  do  i ), potrzebujemy, by rozwiązania równania (8) były co do modułu mniejsze od jedynki.

Gottman ze swoim zespołem na podstawie obserwacji wyznaczył dla każdej z par kąty nachylenia funkcji wpływu oraz wielkości  i  Następnie wyznaczono stany stacjonarne i ich stabilność. Okazało się, że położenie stabilnego stanu stacjonarnego ma kluczowe znaczenie. Dla par zakwalifikowanych wcześniej przez psychologów jako pary wysokiego ryzyka (zagrożone rozpadem związku) przynajmniej jedna ze współrzędnych stabilnego stanu stacjonarnego była ujemna, a druga była bliska zeru lub także ujemna. Dla par niskiego ryzyka stabilny stan stacjonarny znajdował się w pierwszej ćwiartce. Ponadto, wśród badanych osób można było wyróżnić trzy podtypy różniące się nachyleniami funkcji wpływu: wyraźnie dodatnie nachylenie obu liniowych części funkcji wpływu (pozytywna reakcja na pozytywne emocje i negatywna reakcja na negatywne emocje), wyraźnie dodatnie nachylenie prawej części funkcji wpływu (pozytywna reakcja na pozytywne emocje) i bliskie zeru nachylenie lewej części funkcji wpływu (słaba reakcja na negatywne emocje) oraz bliskie zeru nachylenie prawej części funkcji wpływu (słaba reakcja na pozytywne emocje) i wyraźnie dodatnie nachylenie lewej części funkcji wpływu (negatywna reakcja na negatywne emocje). Pary niskiego ryzyka miały podobne (tego samego typu) funkcje wpływu męża i żony. Z drugiej strony, funkcje wpływu partnerów z par wysokiego ryzyka zdają się pochodzić z różnych podtypów, czyli są do siebie niedopasowane. To owocuje ujemnym stabilnym stanem stacjonarnym. Wyniki tych badań sugerują hipotezę, że pary, których związek zdąża do rozpadu, nie wypracowały schematu, jak mają na siebie wpływać, a większość ich sporów dotyczy tego, w jaki sposób powinni się kłócić czy rozmawiać ze sobą.