Elementarnie o twierdzeniu Brouwera

Tytułowe twierdzenie sformułujemy dla trójkąta (z brzegiem) na płaszczyźnie euklidesowej $2 R :$ Jest to najsłynniejsze i najważniejsze twierdzenie w topologicznej teorii punktów stałych o rozlicznych zastosowaniach (w równaniach różniczkowych, topologii, ekonomii, teorii gier, analizie funkcjonalnej). Jego odkrycie miało ogromny wpływ na rozwój wielu gałęzi matematyki, szczególnie topologii algebraicznej.

Twierdzenie 1 (Luitzen Brouwer, 1912 r.). Niech $\text{[math]}$ będzie trójkątem i $f$ przekształceniem ciągłym. Wtedy istnieje taki punkt $x ∈ ,$ że $f (x) = x.$

Punktem wyjścia będzie bastępująca kombinatoryczna obserwacja.

Lemat 1 (Emanuel Sperner, 1928 r.). Niech $|$ będzie trójkątem o bokach $|I,J,K,$ który jest podzielony siecią trójkątów tak, że dwa trójkąty sieci mogą stykać się wspólnym bokiem lub wspólnym wierzchołkiem. Wierzchołki sieci malujemy kolorem czerwonym, niebieskim lub zielonym $|(c,n,z)$ tak, aby każdy wierzchołek leżący w $I$ był czerwony lub niebieski, każdy wierzchołek w $J$ był niebieski lub zielony, a każdy wierzchołek w $|K$ był zielony lub czerwony. Wtedy wśród trójkątów sieci istnieje taki, którego wierzchołki są różnych kolorów.

Określmy wartość "oczka" sieci, wędrując w nim przeciwnie do ruchu wskazówek zegara i sumując wartości przyporządkowane krawędziom zgodnie z podaną na marginesie tabelką. Dla trójkąta sieci, którego wierzchołki są różnych kolorów, ta wartość jest równa 3 lub -3. W każdym innym przypadku ta wartość jest równa 0.

Obliczmy sumę wartości wszystkich oczek sieci. Zauważmy, że wkład każdej krawędzi wewnętrznej sieci do całej sumy jest równy 0 (bo krawędź wewnętrzna należy do dwóch trójkątów i wędrujemy po niej w przeciwnych kierunkach), a wkład każdego boku trójkąta $\text{[math]}$ jest równy 1. Zatem suma wartości wszystkich krawędzi sieci trójkąta $\text{[math]}$ jest równa 3. Oznacza to, że nie wszystkie oczka sieci mają wartość 0. Istnieje więc w sieci trójkąt, którego wierzchołki są różnych kolorów.

Topologiczną konsekwencją lematu Spernera jest następująca obserwacja.

Lemat 2. Niech $\text{[math]}$ będzie trójkątem o bokach $|I,$ $J,K.$ Niech $A, |$ będą zbiorami domkniętymi takimi, że $|I⊂ A,$ $J |⊂ B,K ⊂C$ i $⊂A$ Wtedy $|A$

Jeżeli trójkąt $|$ zawiera się w sumie dwóch zbiorów z rodziny $|{A,$ to teza jest spełniona. Załóżmy, że trójkąt $|$ nie zawiera się w sumie dwóch zbiorów z rodziny ${A,$ Dla każdego $i⩾ 2$ dzielimy boki trójkąta $|$ na $|i$ równych części, a łącząc je liniami równoległymi do boków trójkąta, otrzymujemy sieć $i$ -tego rzędu. Każdy wierzchołek $|x$ w $i$ -tej sieci malujemy na dowolny dopuszczalny kolor, który określa przynależność punktu $x$ do zbiorów z rodziny ${A,$ Możemy to uczynić w taki sposób, aby wszystkie wierzchołki sieci w $I$ były czerwone lub niebieskie, w $J$ były niebieskie lub zielone, w $K$ były zielone lub czerwone. W każdej takiej sieci (lemat 1) istnieje trójkąt o wierzchołkach w różnych kolorach: $ci,ni,$ $zi.$ Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa zapewnia istnienie podciągu zbieżnego $cij ξ.$ Ponieważ średnice trójkątów kolejnych sieci dążą do 0, więc $n ξ ij$ i $z ξ. ij$ Skoro $|cij∈ A,$ oraz $A,$ są zbiorami domkniętymi, więc $|ξ∈ A$

Lemat 3. Dla trójkąta $\text{[math]}$ o bokach $|I,J,K$ nie istnieje takie przekształcenie ciągłe $| f ∂ = I∪ J∪ K,$ że $f (I)⊂ I$ i $f(J) ⊂ J$ i $| f(K) ⊂ K.$

Załóżmy, że $f ∂$ jest takim przekształceniem ciągłym, że $| f(I)⊂ I$ i $f(J) ⊂ J$ i $f(K) ⊂ K.$ Niech $|A$ Ponieważ $|I,J,K$ są zbiorami domkniętymi, $f$ jest przekształceniem ciągłym, więc zbiory $A,$ są domknięte. Oczywiście $I ⊂A,$ Dla każdego $|x∈ , f(x) ∈∂ = I∪ J∪ K,$ więc $A |$ Jednocześnie $|I∩ J∩ K = ∅,$ więc $A$ Sprzeczność z lematem 2.

Lemat 4. Dla trójkąta $\text{[math]}$ o bokach $I,J,K$ nie istnieje takie przekształcenie ciągłe $f ∂ ,$ że $| f(x) = x,$ dla $x ∈ ∂ .$

Załóżmy, że $f ∂$ jest takim przekształceniem ciągłym, że $f(x) = x$ dla $|x∈ ∂ .$ Wtedy $f (I)⊂ I$ i $f(J) ⊂ J$ i $| f(K) ⊂ K.$ Sprzeczność z lematem 3.

Półprosta jest określona jednoznacznie, bo $f (x)≠ x.$ Tak określone przekształcenie $g ∂$ jest ciągłe. Niech $ε > 0,$ określamy otoczenie punktu $|g(x)$ na brzegu $∂$ o długości $ε.$ Na tym otoczeniu budujemy stożek o wierzchołku na odcinku łączącym punkt $| x$ z $| f(x)$ (Rys. 2). Wybieramy $|η> 0$ takie, że kula otwarta $B(f (x),η)$ zawiera się w stożku. Z ciągłości przekształcenia $f$ istnieje $δ > 0$ takie, że $| f(B(x,δ ))⊂ B( f (x),η)$ i $B(x, δ)$ zawiera się w stożku. Wtedy $| g(B(x,δ ))⊂ B(g(x), ε).$ Zatem $| g ∂$ jest przekształceniem ciągłym takim, że $g(x) = x$ dla $x ∈∂ .$ Sprzeczność z lematem 4.

W 1974 roku Mark Yoseloff zauważył, że z twierdzenia Brouwera wynika lemat Spernera (punkt stały przekształcenia $| f$ musi należeć do trójkąta sieci, którego wierzchołki są różnych kolorów). Oznacza to, że wszystkie wyżej podane lematy są równoważnikami twierdzenia Brouwera.

Twierdzenie Brouwera można wykazać bezpośrednio z lematu 1.

Drugi dowód twierdzenia. Niech (Rys. 3)

3 = {x = (x1,x2,x3) ∈R x1,x2,x3⩾ 0 ∧x1 +x2 + x3 = 1}.

Załóżmy, że $f$ jest przekształceniem ciągłym takim, że $| f(x) ≠x$ dla każdego $|x ∈ .$ Ponieważ dla nieujemnych wartości $|x k$ oraz $| f(x ), x = 1 k Pk k$ i $| f(x ) = 1, Pk k$ więc z warunku $| f(x) ≠ x$ wynika, że przynajmniej jedna ze współrzędnych $f(xk) − xk,k = 1,2,3,$ punktu $| f(x) −x$ musi być ujemna i przynajmniej jedna musi być dodatnia.

Dla każdego $|i⩾ 2$ dzielimy boki trójkąta $|$ na $i$ równych części, a łącząc je liniami równoległymi do boków trójkąta, otrzymujemy sieć $|i$ -tego rzędu. Poszczególnym wierzchołkom sieci przypiszemy kolor zielony $|(= 1)$ , czerwony $|(= 2)$ , niebieski $|(= 3)$ według następującej reguły: kolor wierzchołka $u$ określa najmniejszy indeks $k,$ dla którego $k$ -ta współrzędna punktu $f(u) − u$ jest ujemna.

Oznaczmy boki trójkąta $\text{[math]}$ jak na rysunku 3 Jeśli wierzchołek sieci $u$ leży na boku $I,$ to $u = 0, 1$ więc pierwsza współrzędna punktu $| f(u) − u$ nie może być liczbą ujemną, czyli taki punkt $u$ nie otrzyma koloru zielonego (1). Analogicznie wierzchołki sieci z boku $J$ nie otrzymają koloru czerwonego (2), a wierzchołki sieci z boku $K$ nie otrzymają koloru niebieskiego (3). W szczególności wierzchołek $(1,0, 0)$ otrzyma kolor zielony, wierzchołek $(0,1,0)$ kolor czerwony, wierzchołek $|(0,0,1)$ kolor niebieski. Takie kolorowanie wierzchołków sieci jest zgodne z podanym w lemacie 1. Zatem na podstawie lematu 1 w każdej sieci $i$ -tego rzędu istnieje trójkąt, którego wierzchołki są różnych kolorów: $|c,n ,z . i i i$ Na podstawie twierdzenia Bolzano-Weierstrassa istnieje podciąg zbieżny $|cij ξ.$ Ponieważ średnice trójkątów kolejnych sieci dążą do 0, więc również $|nij ξ$ i $zij ξ.$ Wówczas z ciągłości przekształcenia $| f, f(ξ )⩽ ξ , f(ξ ) ⩽ξ 1 1 2 2$ i $f (ξ) ⩽ ξ . 3 3$ Oznacza to, że żadna ze współrzędnych punktu $f(ξ) − ξ$ nie jest liczbą dodatnią, a to jest sprzeczne z warunkiem $| f(x) ≠ x.$

Twierdzenie Brouwera pozostaje prawdziwe w przestrzeniach euklidesowych $|Rn$ (najczęściej jest ono formułowane dla kul):

Twierdzenie. Niech $Bn ⊂ Rn$ będzie domkniętą kulą i $f Bn Bn$ przekształceniem ciągłym. Wtedy istnieje $x ∈ Bn$ takie, że $| f(x) = x.$

Rezultat ten nie przenosi się do przestrzeni o nieskończonym wymiarze. W przestrzeni $|c0$ ciągów rzeczywistych zbieżnych do zera z normą $| x = (x ,x ,...) = sup x 1 2 iE1 i$ dla kuli domkniętej $|B = {x ∈ c0 x ⩽ 1}$ i przekształcenia ciągłego $f B B$ danego wzorem $f (x ,x ,...) = (1,x ,x ,...) 1 2 1 2$ jedynym punktem stałym jest $|(x1,x2,...) = (1,1,...),$ ale $|(1,1,...) ∉c0.$

Twierdzenie Brouwera rozszerzył (na nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha) Juliusz Schauder w 1930 roku, ale to całkiem inna historia...