Co to jest?

Przestrzeń spójna

Pojęcie spójności przestrzeni metrycznej to uściślenie intuicji, że przestrzeń jest "w jednym kawałku".

Rysunek c) przedstawia niespójny podzbiór $|ℝ2$ (z metryką euklidesową).

Definicja. Przestrzeń metryczna $,ρ) (X$ jest spójna, jeżeli nie istnieją niepuste domknięte podzbiory $A$ i $B$ takie, że ich część wspólna jest zbiorem pustym $∩B=∅, A$ zaś ich suma jest całą przestrzenią $∪B=X.A$

Zbiory $A$ i $B$ to są właśnie te "kawałki", na które rozpada się przestrzeń $.X$ Zauważmy, że gdy przestrzeń nie jest spójna i jest sumą swoich niepustych, domkniętych i rozłącznych podzbiorów, to każdy z tych podzbiorów jest także otwarty.

Przykład 1. Zbiór liczb wymiernych $Q$ na prostej z metryką $ρ(x,y) = x − y$ nie jest spójny, bowiem można go przedstawić w postaci sumy

√ -- √ -- Q = {q ∈Q q ⩽ 2}∪ {q ∈Q q ⩾ 2}.

Przykład 2. Podobnie zbiór liczb niewymiernych nie jest spójny, bo można go przedstawić na przykład w postaci

R ∖ Q = {x ∈R ∖ Q x ⩽0} ∪ {x ∈R ∖ Q x ⩾0}.

Bardzo ważne przykłady przestrzeni spójnych dostarcza następujące twierdzenie:

Twierdzenie. Następujące przestrzenie metryczne z metryką prostej euklidesowej są spójne dla dowolnych $|a,b ∈R$ : odcinek otwarty $(a, b),$ odcinek domknięty $|[a,b],$ domknięty jednostronnie $|[a, b),(a,b],$ półproste $[a,+ ∞ ),(a,+∞ ),(−∞ ,a),(−∞ ,a]$ i cała prosta $|R.$ Są to jedyne spójne podzbiory prostej euklidesowej.

Jak zachowają się przestrzenie spójne, gdy będziemy je przekształcać? Jeżeli przekształcenie może zgniatać, rozciągać, ale nie rozrywać, to z przestrzeni "w jednym kawałku" otrzymamy również przestrzeń w "jednym kawałku", czyli spójną. Przekształcenia, które nie "rozrywają", nazywamy ciągłymi. "Rozrywanie" to oderwanie punktu granicznego od ciągu punktów do niego zbieżnego. Definicja przekształcenia ciągłego przestrzeni metrycznej znajduje się tutaj.

Rozważmy teraz odcinek $[0,1]$ ze zwykłą metryką. Jeżeli na punkty tego odcinka będziemy patrzeć jak na czas, to na przekształcenie odcinka w przestrzeń $X$ możemy patrzeć jak na szlak przebyty w czasie od 0 do $|1$ w przestrzeni $. X$ Jeżeli $X$ jest przestrzenią metryczną z metryką $|ρ,$ a przekształcenie jest ciągłe, to mówimy, że mamy drogę w przestrzeni metrycznej $,ρ). |(X$ Obraz 0 jest początkiem, a obraz $|1$ końcem tej drogi. Przestrzenie, w których od jednego do drugiego punktu możemy przejść pewną drogą, są tak ważne, że mają swoją nazwę.

Definicja. Przestrzeń metryczna $,ρ) (X$ nazywa się łukowo spójna, jeżeli dla dowolnych punktów $|x,y ∈X$ istnieje droga o początku w punkcie $x$ i końcu w punkcie $|y.$

Niech $,ρ) (X$ będzie podzbiorem płaszczyzny ze zwykłą metryką euklidesową. Możemy powiedzieć w pewnym uproszczeniu, że podzbiór ten jest łukowo spójny, jeżeli dla każdych dwóch jego punktów można narysować, nie odrywając ołówka od papieru, krzywą łączącą je i zawartą w $. X$

Obraz drogi jest przestrzenią spójną i nietrudno się domyślić, że prawdziwe jest twierdzenie:

Twierdzenie. Jeżeli przestrzeń metryczna $,ρ) |(X$ jest łukowo spójna, to jest spójna.

To twierdzenie nietrudno uzasadnić. Jeżeli bowiem $∪B=X A$ byłoby rozkładem przestrzeni $X$ na dwa "kawałki", to weźmy punkt $|x ∈A$ oraz $|y∈ B.$ Wiemy, że istnieje droga o początku w punkcie $x$ i końcu w punkcie $y.$ Ale rozkład $X$ na rozłączne i niepuste domknięte podzbiory $|A$ i $B$ dawałby rozkład obrazu drogi od $|x$ do $y,$ co jest niemożliwe, bo obraz drogi jest przestrzenią spójną.

Nie każda przestrzeń spójna jest łukowo spójna. Rozważmy przykład podzbioru płaszczyzny, który jest jakby grzebieniem o nieskończenie wielu zębach zbiegających do granicznego zęba. Tego granicznego zęba jednak brakuje - jest tylko jego kawałek (oznaczony na rysunku literą $J$ ), nieprzymocowany do grzebienia. Cała przestrzeń jest jednak spójna - ten kawałek nie odpadnie, choć nie ma drogi, która łączy punkt odcinka $J$ z jakimkolwiek punktem grzebienia, który do odcinka $J$ nie należy. To jest jakby spójność "na magnes". Magnes tworzą zbieżne ciągi, które "przyciągają" swoją granicę.

Jeszcze lepiej zjawisko to ilustruje spójna przestrzeń, przypominająca znak polskiego lotnictwa, powstała z nieskończenie wielu patyczków.