Co to jest?

Zbiór domknięty i zbiór otwarty

Przypuśćmy, że $(X; æ)$ jest przestrzenią metryczną, czyli zbiorem $|X;$ w którym możemy mierzyć odległość między punktami tego zbioru. W przestrzeni metrycznej możemy zdefiniować pojęcie zbioru otwartego i domkniętego. Zacznijmy od przykładu podzbiorów płaszczyzny ze zwykłą, szkolną metryką euklidesową.

Rozważmy trzy podzbiory:

$A B = {(x, y)∈ R2 x2 +y2 < 1}, C$

Widzimy, że zbiór

| A

różni się od zbiorów

| B

| C

tym, że "nic nie brakuje na brzegu". Uściślenie "niczego nie brakuje" jest następujące: jeżeli ciąg punktów

p1,p2,...

zbioru

A

jest zbieżny do punktu

|p

płaszczyzny, to punkt

p

również należy do zbioru

A.

Zbiory

| B

| C

nie mają tej własności. W zbiorze

| C

na przykład ciąg punktów

1 1 |(1,0),(2,0) ,...,( n,0),...

jest zbieżny do punktu

(0,0),

ale ten do zbioru

|C

nie należy. W przypadku zbioru

B |

każdy punkt płaszczyzny należący do okręgu

{(x, | y) ∈ R2 x2 + y2 = 1}

jest granicą pewnego zbieżnego ciągu punktów zbioru

| B,

ale do zbioru

| B

nie należy. Powiemy, że zbiór

|A

jest domknięty, a zbiory

B |

C

domknięte nie są.

Definicja. Niech $| ,ρ) (X$ będzie przestrzenią metryczną. Powiemy, że podzbiór $U$ jest domknięty w przestrzeni $, |X$ jeżeli dla każdego zbieżnego ciągu punktów zbioru $U$ jego granica także należy do $U. |$

Definicja. Niech $,ρ) (X$ będzie przestrzenią metryczną. Powiemy, że podzbiór $|U$ jest otwarty w przestrzeni $, |X$ jeżeli zbiór $| ∖U X$ jest domknięty.

W powyższym przykładzie zbiór $|A$ jest domknięty, ale nie jest otwarty, zbiór $|B$ nie jest domknięty, ale jest otwarty, zaś zbiór $C$ nie jest ani otwarty, ani domknięty na płaszczyźnie euklidesowej.

W dowolnej przestrzeni metrycznej $,ρ) (X$ możemy zdefiniować pojęcie kuli o środku w punkcie $x$ i promieniu $r$ - jest to po prostu zbiór punktów przestrzeni $| X$ odległych od $| x$ o ściśle mniej niż $| r.$ Zauważmy, że podzbiór $U$ przestrzeni metrycznej $,ρ) (X$ jest otwarty, jeżeli dla każdego punktu $x ∈U$ istnieje takie $r, |$ że kula o środku w punkcie $|x$ i promieniu $r$ jest zawarta w $U.$

Rozważmy jeszcze następujące dwa przykłady. Niech $X |$ będzie zbiorem punktów płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych. Na zbiorze $| X$ rozważmy metrykę euklidesową. Zauważmy, że w tej przestrzeni metrycznej dowolne dwa punkty są odległe co najmniej o $1,$ a więc ciągi zbieżne to takie, które są stałe od pewnego miejsca. Wynika z tego, że każdy podzbiór tej przestrzeni metrycznej jest domknięty, zatem każdy podzbiór jest też otwarty. Przestrzeń metryczna o tej własności, że każdy jej podzbiór jest domknięty lub równoważnie każdy jest otwarty, nazywa się dyskretną . W przestrzeni dyskretnej w szczególności każdy jednopunktowy podzbiór jest otwarty - dla każdego punktu możemy więc znaleźć taką kulę, że nie ma w niej punktów innych niż jej środek. Stąd nazwa tej przestrzeni: możemy żartobliwie powiedzieć, że każdy punkt przestrzeni ma zapewnioną dyskrecję - nie ma dowolnie bliskich sąsiadów.

Na koniec zauważmy, że jeżeli $ρ$ i $ρ′$ są równoważnymi metrykami na zbiorze $, |X$ to rodziny domkniętych podzbiorów przestrzeni metrycznej $,ρ)(X$ i $′ ,ρ) |(X$ są te same. Ta uwaga sugeruje, że pojęcie domkniętości i otwartości zależy od struktury ogólniejszej od metryki - tak jest w istocie, ale to już jest inna opowieść.