Nieuchwytny punkt stały

Tym razem o własności punktu stałego...

Twierdzenie. Jeżeli $|I = [a,b]$ jest domkniętym, ograniczonym przedziałem prostej euklidesowej $|R,$ to każde przekształcenie ciągłe $f I I$ ma punkt stały, tj. taki punkt $|p∈ I,$ że $| f(p) = p.$

Można też rozumować inaczej: niech $f I I$ będzie przekształceniem ciągłym,

A = {x∈ I x ⩽ f(x)}iB = {x ∈ I x ⩾ f(x)}.

Oczywiście, $|I = A∪ B,A,$ $B$ są zbiorami domkniętymi w $I,a ∈A,b ∈B.$ Ponieważ $|I$ jest zbiorem spójnym, więc istnieje punkt $p ∈A ∩B.$ Wtedy $f(p) = p.$

Świetnie, ale gdzie (jak) tego punktu $p$ szukać? To jest problem!

W 1912 roku Luitzen Brouwer opublikował niezwykle zaskakujący wynik:

Twierdzenie. Na płaszczyźnie euklidesowej $2 R$ każde przekształcenie ciągłe koła domkniętego $2 2 B = {(x,y) x + y ⩽ 1}$ w siebie ma punkt stały.

Uzasadnienie tego rezultatu nie jest łatwe, intuicja nam w tym nie pomaga. Weźmy papierową kopię koła $B,$ zgniećmy ją dowolnie (ale jej nie rozerwijmy), to, co otrzymaliśmy, zdepczmy tak, by stało się częścią koła $|B.$ Wtedy co najmniej jeden punkt kopii będzie leżał dokładnie nad swoim pierwowzorem. Zadziwiające!

I w tym przypadku nie mamy żadnych precyzyjnych informacji o ilości punktów stałych i ich lokalizacji (aproksymacji).

Odkryta przez Brouwera własność koła pozostaje prawdziwa dla szerszej klasy zbiorów. Mówimy, że dwa zbiory $X$ i $Y$ są homeomorficzne, jeśli istnieje takie wzajemnie jednoznaczne przekształcenie $h$ zbioru $X$ na zbiór $|Y,$ że przekształcenia $h$ i $|h−1,$ do niego odwrotne, są ciągłe. Takie przekształcenie $|h$ nazywamy homeomorfizmem. Zbiór homeomorficzny z kołem $|B$ nazywamy dyskiem topologicznym (rys. 1).

Mówimy, że zbiór $|X$ ma własność punktu stałego, gdy każde przekształcenie ciągłe $f X X$ ma punkt stały.

Twierdzenie 1. Niech $X$ i $Y$ będą zbiorami homeomorficznymi. Jeżeli zbiór $|X$ ma własność punktu stałego, to zbiór $Y$ też ma własność punktu stałego.

Istotnie, niech $g Y Y$ będzie przekształceniem ciągłym. Określamy przekształcenie ciągłe $| f = h −1○g ○h X X,$ czyli $| f(x) = h−1(g(h(x)))$ dla każdego $|x ∈X.$ Ponieważ zbiór $|X$ ma własność punktu stałego, więc istnieje $p ∈ X,$ że $f(p) = p.$ Wtedy $h−1(g(h(p))) = p,$ więc $|g(h(p)) = h(p).$ Oznacza to, że $h(p) ∈ Y$ jest punktem stałym przekształcenia $|g.$ Zbiór $Y$ ma więc własność punktu stałego.

Twierdzenie Brouwera zapewnia więc, że na płaszczyźnie euklidesowej dysk topologiczny ma własność punktu stałego. Dyski topologiczne należą do szerszej klasy zbiorów, tzw. continuów. Continuum to zbiór zwarty i spójny.

Nie wszystkie continua (na płaszczyźnie euklidesowej) mają własność punktu stałego. Dla okręgu, czy pierścienia niewielki obrót lub przekształcenie antypodyczne rusza wszystkie punkty figury. Z drugiej strony wiele continuów ma własność punktu stałego.

Przykład 1. Łuk $sin 1x$ , czyli wykres funkcji $sin 1x,x∈ (0,1],$ w sumie z odcinkiem $|S = {(x, y) x = 0 ∧ y ⩽ 1}$ (rys. 2) ma własność punktu stałego.

Oznaczmy łuk $1 |sin x$ przez $|A.$ Niech $ξ(a)$ oznacza współrzędną $x$ -ową punktu $|a ∈A.$ Dla dowolnego przekształcenia ciągłego $f A A$ funkcja $|g A R$ dana wzorem $g(a) = ξ(a) −ξ( f (a))$ jest ciągła i nieujemna w punkcie $q = (1,sin1).$ Na odcinku $S$ funkcja $g$ jest niedodatnia. Jeżeli funkcja $g$ przyjmuje wartość zero w pewnym punkcie zbioru $A∖ S,$ to jest to punkt stały przekształcenia $f.$ Jeśli $g(a) > 0$ we wszystkich punktach $|a ∈A∖ S,$ to $g(a) = 0$ na zbiorze $|S.$ Oznacza to jednak, że $| f$ przekształca zbiór $S$ w $|S,$ a takie przekształcenie ma punkt stały w zbiorze $S.$

Przykład 2. Okrąg $1 |sin x$ (rys. 3) ma własność punktu stałego.

Oznaczmy okrąg $1 |sin x$ przez $W.$ Niech $u = (0,−1)$ i dla każdego punktu $|a∈ W$ niech $λ (a)$ będzie długością łuku, wzdłuż okręgu $|W,$ od punktu $|u$ do punktu $|a$ (np. $λ(u) = 0,$ $λ (v) = 2$ ). Dla dowolnego przekształcenia ciągłego $f W W$ funkcja $|g W R$ dana wzorem $|g(a) =λ (a)− λ( f (a))$ jest ciągła oraz $g(u) ⩽ 0.$ Jeśli w zbiorze $W$ jest punkt, dla którego funkcja $g$ jest nieujemna, to w pewnym punkcie $|p∈ W,g(p) = 0.$ Wtedy $| f(p) = p.$

W badaniu własności punktu stałego bardzo użyteczny jest następujący rezultat.

Twierdzenie 2. Niech $|X$ będzie zbiorem z własnością punktu stałego, $|Y$ jego podzbiorem i $r X Y$ takim przekształceniem ciągłym, że $|r(y) = y$ dla każdego $y ∈Y .$ Wtedy zbiór $|Y$ też ma własność punktu stałego.

Uzasadnienie jest proste. Niech $|g Y Y$ będzie przekształceniem ciągłym. Wtedy przekształcenie $| f = g ○r X Y ⊂ X$ jest ciągłe. Ponieważ zbiór $|X$ ma własność punktu stałego, więc istnieje takie $p ∈X,$ że $| f(p) = g(r(p)) = p.$ Ponieważ $p ∈Y ,$ więc z warunku $|r(p) = p$ wynika, że $g(p) = p.$

Zbiór $Y ⊂ X,$ dla którego istnieje takie przekształcenie ciągłe $|r X Y ,$ że $r(y) = y$ dla każdego $y ∈Y ,$ nazywamy retraktem zbioru $|X,$ a przekształcenie $r$ nazywamy retrakcją. Pojęcia te wprowadził w 1931 roku Karol Borsuk.

Odcinek i litera $|Y$ są retraktami koła $|B,$ więc mają własność punktu stałego (rys. 4). Continua z rysunku 5 też są retraktami koła $B$ i zgodnie z twierdzeniem 2 mają własność punktu stałego.

Oczywiście, aby wykazać, że zbiór nie ma własności punktu stałego, wystarczy wskazać przykład jednego przekształcenia ciągłego, które rusza wszystkie punkty zbioru (lub jego retraktu). Sprawdź, które litery alfabetu łacińskiego mają własność punktu stałego (a innych alfabetów?). Dla przykładu rozpatrzmy pierwsze dwie litery (rys. 6), jak widać, obie nie mają własności punktu stałego.

Drogi Czytelniku, w poniższych zadaniach, zanim przeczytasz rozwiązania, sam zmierz się z pytaniami.

Zadanie 1. Czy "bałwanek", gdzie koła domknięte $|X$ i $|Y$ są styczne zewnętrznie, ma własność punktu stałego?

Rozwiązanie: Wystarczy zauważyć, że "bałwanek" jest retraktem koła, które zgodnie z twierdzeniem Brouwera ma własność punktu stałego. Wniosek: "bałwanek" $|X∪ Y$ ma własność punktu stałego.

A jak wygląda sytuacja, gdy zbiory $X$ i $Y$ są dyskami topologicznymi i mają więcej punktów wspólnych?

Zadanie 2. Czy koło domknięte $|B$ z nawijającą się asymptotycznie na jego brzeg spiralą $S = { t+1(cost,sint) t⩾ 1} t$ (rys. 7) ma własność punktu stałego?

Jeżeli $f(B) ⊂ B,$ to na podstawie twierdzenia Brouwera $f$ ma punkt stały.

Jeżeli $f(B) ⊂ S,$ to również $f(B ∪ S) ⊂S$ ( $f (S)$ nie może wtedy zawierać się w zbiorze $B,$ bo $f$ jest ciągłe). Ponieważ zbiór $B ∪ S$ jest zwarty, więc zbiór $f (B ∪S) ⊂ S$ jest punktem albo domkniętym łukiem skończonej długości $|J⊂ S.$ Jeżeli $| f(B ∪ S)$ jest punktem, to jest to punkt stały przekształcenia $f.$ W przeciwnym przypadku $| f J J,$ a to przekształcenie ma punkt stały. Zatem continuum $B ∪ S$ ma własność punktu stałego.

Opisane zagadnienia prowadzą do wielu otwartych pytań. Jedno z najważniejszych, postawione około 1930 r., jest następujące:

Problem. Czy każde continuum, które nie rozcina płaszczyzny, ma własność punktu stałego?

Niestety, nie znamy na nie odpowiedzi. Jednym z powodów takiego stanu rzeczy jest niezwykle bogaty i różnorodny ogród anomalii jaki stanowią continua. Przykładem niech będzie pytanie: czy na płaszczyźnie istnieją linie będące wspólnym brzegiem trzech (lub więcej) obszarów? Odpowiedź podał Brouwer w 1910 roku, budując na płaszczyźnie dla każdego naturalnego $n ⩾ 3$ wspólne brzegi $|n$ obszarów. Spróbuj i Ty!