W matematyce pojęcie poziomicy pojawia się w podobnym, nieco ogólniejszym kontekście. Poziomicą funkcji wyznaczoną przez wartość nazywamy zbiór tych wszystkich argumentów dla których ; zbiór ten oznaczamy przez W poprzednim akapicie rozważaliśmy funkcję przyporządkowującą punktowi na mapie jego wysokość, ale to tylko jedna z możliwości. W ogólnym przypadku można wykazać (mówi o tym tzw. twierdzenie Sarda), że prawie każda poziomica gładkiej funkcji jest regularna, a więc - podobnie jak w przypadku kartograficznym - osobliwe poziomice są zjawiskiem nietypowym.

W ramach dalszego śledzenia poziomic pokażemy teraz, że na równiku Ziemi można znaleźć dwa punkty antypodyczne leżące na jednej poziomicy. Punkty antypodyczne to takie, że tunel wydrążony z jednego z nich na wylot przez środek Ziemi wypada w drugim; z dobrym przybliżeniem tak położone są Quito w Ekwadorze (2850 m n.p.m.) i Pekanbaru w Indonezji (12 m n.p.m.). Jeśli w każdym z tych dwóch miast mamy znajomego, możemy ich poprosić o udanie się w podróż na zachód w tym samym tempie i informowanie na bieżąco o aktualnej wysokości nad poziomem morza. O ile na początku znajomy z Ekwadoru jest ponad 2 km wyżej, to sytuacja będzie się szybko zmieniać, a po pewnym czasie nasi znajomi zamienią się miejscami i różnica w raportowanych wysokościach będzie taka sama, ale na minusie. Niewątpliwie gdzieś po drodze wysokości musiały się wyrównać - w ten sposób znaleźliśmy punkty antypodyczne na jednej poziomicy.

Powyższy przykład jest mało zaskakujący, bo bez niczyjej pomocy z łatwością znajdziemy żądaną parę punktów na pełnym morzu (wysokość 0 m n.p.m.). Przedstawione rozumowanie jest jednak bardziej uniwersalne i działa równie dobrze, gdyby zamienić wysokość na jakąś inną funkcję (średnia roczna temperatura, ciśnienie, suma opadów etc.), byle tylko była ciągła, bo musimy wykluczyć skoki. Możemy też pójść krok dalej i chcieć porównać dwa parametry naraz. Pokażemy więc, że na powierzchni Ziemi można znaleźć dwa punkty antypodyczne o równej średniej rocznej temperaturze i ciśnieniu. Wyniknie to z następującego ogólnego twierdzenia.

Twierdzenie 1 (Karol Borsuk, Stanisław Ulam). Niech

będzie sferą jednostkową, a dowolną funkcją ciągłą. Wówczas istnieje punkt dla którego

Aby zastosować powyższe twierdzenie do naszej sytuacji, powierzchnię Ziemi modelujemy za pomocą sfery, a odpowiednią funkcję definiujemy poprzez przyporządkowanie punktowi pary liczb wyrażających średnią roczną temperaturę i ciśnienie w Z twierdzenia otrzymujemy wtedy dwa punkty i w których oba te parametry mają tę samą wartość. Pozostaje zauważyć, że odpowiada to dokładnie parze punktów antypodycznych na powierzchni Ziemi.

Dla wygody twierdzenie Borsuka-Ulama pokażemy w następującej wersji:

Przykładem takiej funkcji jest czyli rzut prostopadły na płaszczyznę W tym konkretnym przypadku zauważamy, że równość zachodzi dla dokładnie dwóch punktów, które na cześć biegunów Ziemi oznaczymy Inny przykład otrzymamy, jeśli weźmiemy dowolny obrót przekształcający sferę na nią samą i określimy funkcję ; wówczas miejsca zerowe to Ale przejdźmy już do ogólnego przypadku.

Zarys dowodu Twierdzenia 2. Ograniczymy się do wykazania tezy twierdzenia w przypadku, gdy jest funkcją nie tylko ciągłą, ale też gładką. Przypuśćmy, że teza nie zachodzi, czyli nie przyjmuje zera; będziemy dążyć do sprzeczności.

Między a funkcją z przykładu wyżej można znaleźć całą rodzinę funkcji

(*)

Tak może wyglądać poziomica Na potrzeby rysunku denka cylindra są okręgami, a nie sferami.

Wstawienie w powyższym wzorze daje na powrót natomiast dla otrzymujemy Rodzinę tę możemy też rozumieć jako jedną gładką funkcję określoną na (pustym w środku) cylindrze pokrywającą się z i odpowiednio na dolnym i górnym denku.

Założymy dodatkowo, że poziomica jest regularna. Wówczas składa się ona ze skończenie wielu krzywych, zamkniętych lub mających końce na którymś z denek. Skoro nie przyjmuje zera, to nie może dotykać górnego denka. Wiemy natomiast, że ma dokładnie dwa punkty wspólne z dolnym denkiem ( oraz ), gdyż na tym denku pokrywa się z Jak mówi przysłowie, każdy kij ma dwa końce, a więc w skład poziomicy może wchodzić jedynie jedna niezamknięta krzywa o końcach w i

Przypomnijmy teraz, że funkcje i są nieparzyste, a więc zgodnie ze wzorem (*) nieparzysta jest także każda z rodziny funkcji je łączących, to znaczy dla dowolnych W konsekwencji poziomica ma następującą własność symetrii: jeśli jakiś punkt do niej należy, to punkt również. Tę samą własność ma więc też krzywa Opisaną sytuację trudno jest jednak wiernie oddać na rysunku, z bardzo prostego powodu - jest niemożliwa!

Żeby się o tym przekonać, ponownie poprośmy o pomoc naszych sprawdzonych znajomych. Niech obaj podróżują w tym samym tempie wzdłuż krzywej przy czym jeden niech zacznie z punktu a drugi z Ze względu na symetrię w każdym momencie nasi znajomi będą w punktach postaci i co oznacza, że nie mogą się spotkać. Z drugiej strony, po pewnym czasie każdy z nich dojdzie do przeciwnego końca więc po drodze gdzieś musieli się minąć. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że funkcja musi przyjmować zero.

---

Wróćmy na chwilę do przyjętego ad hoc założenia o regularności - jest ono spełnione w typowym przypadku, ale nie zawsze. Czytelnik znający twierdzenie Sarda łatwo uzupełni tę lukę, zamieniając w dowodzie funkcję na i odpowiednio na zgodnie ze wzorem (*); można bowiem sprawdzić, że dla prawie każdego obrotu poziomica jest regularna, co pozwala przeprowadzić resztę rozumowania bez zmian. Przyjęte na początku założenie o gładkości też nietrudno wyrugować.

Czytelnik obdarzony Szczególnie Czujnym Okiem może zauważyć, że przedstawione rozumowanie równie dobrze stosuje się do funkcji ciągłych z -wymiarowej sfery w -wymiarową przestrzeń dla dowolnego W szczególności dla otrzymujemy następujące twierdzenie: dla każdej ciągłej funkcji określonej na okręgu, znajdziemy punkt w którym Zatoczyliśmy w ten sposób pełne koło i rozwiązaliśmy w inny sposób początkowy problem z punktami antypodycznymi na równiku.